「BalticOI 2022 Day1」Uplifting Excursion 物品 题解

感谢 此神仙 在这题上对我的帮助，这里表达对祂衷心的膜拜。

Description

传送门

Solution

妙妙题。

暴力: Subtask 1-2

注意到所有物品的重量总和不超过 $1010000$，于是就是个裸的多重背包。

使用单调队列优化的复杂度为 $O(N^4)$，常数较大；使用二进制分组优化的复杂度为 $O(N^4\log N)$，常数较小且好写。具体两个能拿多少分没试过。

简化版

首先思考一个简化版的问题：总重量不需恰好为 $m$，只需不超过 $m$。

不难发现，此时我们可以直接贪心。具体来说，我们预先选上所有重量为负的物品，那么接下来，选中一个重量 $V$ 为负的物品等价于将其丢弃，可以使总重量增大 $|V|$ 并减少一个物品，单价为 $-\frac{1}{|V|}$；选中一个重量 $V$ 为正的物品，可以使总重量增大 $V$ 并增加一个物品，单价为 $\frac{1}{V}$。显然的，根据贪心的思想，我们要先尝试选单价大的，再尝试选单价小的，于是我们应先尝试选 $1,2,3,\cdots ,m$ 这些物品，再尝试选 $-m,-m+1,\cdots ,-1$ 这些物品。至于 $0$ 的话，我们在接下来的讨论中都默认不存在重量为 $0$ 的物品，毕竟只需要将最终的答案加上其数量就好了。

于是我们解决了简化版。

正解

回到原题，当要求总重量恰好为 $m$ 的时候，我们该怎么办呢？考虑先套用简化版，求出一组贪心解，再对贪心解进行调整。

于是问题转化为，该如何调整，使总重量增长至 $m$ 且选出物品的总个数最大。显然的，一次调整，要么将一个物品给弃掉，要么将一个物品给加入，而无论是上述哪种变化，总重量的增值都在区间 $[-m,m]$ 中。注意到总重量的总增值（即 $m$ 减去贪心解的总重量）也在这段区间中，那么这样一来，调整的次数就可以不超过 $2m+1$ 了。这是因为，我们可以先贪心地排列各次调整的位置，使各处的前缀和均在 $[-m,m]$ 中；接着，若存在某两个不同时刻的调整，使它们对应的前缀和相同，那么在这两次调整之间（左开右闭）的调整就都是无意义的，可以将它们一起去掉；不断地执行上述删除操作，直到无法删除为止，调整的次数就被减少到不超过 $2m+1$ 了。

既然调整次数只有 $O(m)$ 级别，那么各次调整的增量的绝对值之和就是 $O(m^2)$ 级别的。所以，我们只需要跑一遍多重背包，就能调整出最优的方案了。

若使用单调队列优化多重背包，那么时间复杂度 $O(m^3)$，可以通过本题。实测二进制分组优化也能过，而且跑得还很快。

Code

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Summary

启发：

1. 遇到这种看似“经典”的题，正解不一定是经典的，要把思维打开，不能太局限。
2. 有些时候，无法贪心就要考虑 dp，而无法 dp 也许要考虑贪心。
3. 尝试将题目弱化一下，或许能够有利于走向正解。
4. 本题的精髓——先贪心构造出一组不超过/不小于的解，接着发现不需要做过多的调整，从而问题"变小"，就可以通过 dp 及其他技巧将其调整为一组最优的合法解了。感觉这个思想很值得推广应用。