LeetCode 1349. 参加考试的最大学生数,状压DP

一、题目

1、题目描述

给你一个 m * n 的矩阵 seats 表示教室中的座位分布。如果座位是坏的（不可用），就用 '#' 表示；否则，用 '.' 表示。

学生可以看到左侧、右侧、左上、右上这四个方向上紧邻他的学生的答卷，但是看不到直接坐在他前面或者后面的学生的答卷。请你计算并返回该考场可以容纳的同时参加考试且无法作弊的 最大 学生人数。

学生必须坐在状况良好的座位上。

2、接口描述

class Solution {
public:
    int maxStudents(vector>& seats) {

    }
};

3、原题链接

1349. 参加考试的最大学生数

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二、解题报告

1、思路分析

对于这种网格图上的合法位置问题很容易联想到状压DP。

根据题目规则，按行考虑，每一行的有效状态和当前行有关也跟上一行有关

状态设计

每一行的状态可以用一个二进制数字来保存，1代表有学生，0代表没有，那么我们定义f[i][j]为下标i行状态为j时最大学生数目

那么递推关系是怎样的呢？

状态转移

首先对于状态j而言，它必须是一个合法状态，他要满足当前行合法即j & (j >> 1) = 0，即无相邻1

那么对于上一行，状态不妨设为t，那么t & (j >> 1 | j << 1) = 0，我们有递推公式

f[i][j] = max(f[i][j] , f[i - 1][t] + num[j])，其中num[j]为状态j中1的个数

有了递推公式之后，其实还是有许多细节要处理的

预处理

根据传入参数，我们可以预处理出每行的座位状态（仍然是1代表有，0代表无），由于每行的有效状态是要从这个座位状态的子集里面挑的，座位状态可以用来枚举子集

状态初始化

我们可以初始化出第0行的所有状态下的最大学生数目，为社么呢？

对于第0行初始化显然问题就简化为了一行位置有若干位置可以坐人，要求不能两两相邻，求最大数目，我们直接贪心的取即可，从第一个空位置开始取，如果相邻也是空位置就跳过去，具体代码就是：

        for(int i = 1 ; i < (1 << n) ; i++)
        {
            int lb = i&-i;
            f[0][i] = f[0][i & ~(lb * 3)] + 1;
        }

2、复杂度

时间复杂度：O(m*3^n) 空间复杂度：O(m*2^n)

3、代码详解

​记忆化搜索版本

class Solution {
public:
int f[8][1<<8] , valid[8];
    int dfs(int x , int y){
        int& res = f[x][y];
        if(~res) return res;
        if(!x)
        {
            if(!y) return res = 0;
            int lb = y&-y;
            return res = dfs(x , (y & ~(lb*3))) + 1;
        }
        res = dfs(x - 1 , valid[x - 1]);
        for(int i = y ; i ; i = (i - 1) & y)
        {
            if(!(i & (i >> 1)))
            {
                int t = valid[x - 1] & ~((i << 1) | (i >> 1));
                res = max(res , dfs(x - 1, t) + __builtin_popcount(i));
            }
        }
        return res;
    }
    int maxStudents(vector>& seats) {
        int m = seats.size() , n = seats[0].size();
        memset(f , -1 , sizeof(f));
        memset(valid , 0 , sizeof(valid));
        for(int i = 0 ; i < m ; i++)
            for(int j = 0 ; j < n ; j++)
                if(seats[i][j] == '.') valid[i] |= (1 << j);
        return dfs(m - 1 , valid[m - 1]);
    }
};

递推版本

class Solution {
public:
int f[8][1<<8] , valid[8];
    int maxStudents(vector>& seats) {
        int m = seats.size() , n = seats[0].size();
        memset(f , 0 , sizeof(f));
        memset(valid , 0 , sizeof(valid));
        for(int i = 0 ; i < m ; i++)
            for(int j = 0 ; j < n ; j++)
                if(seats[i][j] == '.') valid[i] |= (1 << j);
        for(int i = 1 ; i < (1 << n) ; i++)
        {
            int lb = i&-i;
            f[0][i] = f[0][i & ~(lb * 3)] + 1;
        }
        for(int i = 1 ; i < m ; i++)
        {
            for(int j = valid[i] ; j ; j = (j - 1) & valid[i]){
                f[i][j] = f[i - 1][valid[i - 1]];
                for(int k = j ; k ; k = (k - 1) & j)
                {
                    if(!(k & (k >> 1))){
                        int t = valid[i - 1] & ~(k << 1 | k >> 1);
                        f[i][j] = max(f[i][j] , f[i - 1][t] + f[0][k]);
                    }
                }
            }
            f[i][0] = f[i - 1][valid[i - 1]];
        }
        return f[m - 1][valid[m - 1]];
    }
};