高中奥数 2021-06-11

2021-06-11-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 集合的分划 P42 习题15）

给定集合,其中都是非零复数(可看作平面上的非零向量).求证:可以把中的元素分成若干组,使得

(1) 中的每个元素属于且仅属于其中一组;

(2)每组中的任一复数与该组中所有复数之和的夹角不超过;

(3)将任意两组中的所有复数分别求和,所得的两个和数之间的夹角大于.

解

考虑集合的所有子集并计算每个子集中所有复数的和的模.

因这样得到的模数只有有限多个,故其中必有最大数.

将其模取最大值的子集之一记为.

如果,再将的所有集合中能使其所有复数之和的模达到最大的一个子集取为.

如果,则令.

这样选取的至多3个子集便满足题中要求.

将、、中所有元素之和分别记为、、.

(i)对任意,如果与的夹角为钝角,则与的夹角为锐角.

于是有,即子集中所有元素之和的模大于的模,此与的最大性矛盾.这就证明了中任一元素与的夹角都不超过.同理,中任一元素与的夹角也不超过.

(ii)对任意,与的夹角都是钝角.否则又导致,矛
盾.同理,中任一元素与的夹角都是钝角.由此可见,中所有元素均与
成钝角,从而其和与的夹角是钝角.同理,与,与的夹角都是钝角,即(3)成立.

(iii)若存在,使与的夹角为钝角,则由(ii)知,4个数、、、两两之间的夹角都是钝角.此不可能.所以,中任一元素与的夹角都不超过.

2021-06-11-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 集合的分划 P42 习题16）

设都是正整数,并且.求证:集合构成的分划的充分条件是和都与互质,其中表示不超过实数的最大整数.

解

因,,,故与构成的一个分划等价于.

必要性.若、之一与有公因数,则另一个也与有公因数.设,于是,.

充分性.假设,则存在整数、,使,,,即,,相加得.矛盾.