数学规律——三角形高线取值问题

我们先来看两道题：

1、已知△ABC的两条高线的长分别为4和12，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为___

解：设高线为4的底边为a，高线为12的底边为b，另一边为c，高线为h，△ABC的面积为S。

则a=2/4 S,  b=2/12 S,  c=2/h S，由三角形三边关系，a-b

即2/4 S-2/12 S < 2/h S < 2/4 S+2/12 S，解得3

第1题图

2、已知△ABC的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为___

解：设高线为5的底边为a，高线为20的底边为b，另一边为c，高线为h，△ABC的面积为S。

则a=2/5 S,  b=2/20 S,  c=2/h S，由三角形三边关系，a-b

即2/5 S-2/20 S < 2/h S < 2/5 S+2/20 S，解得4

第2题图

研究上面两题解题过程，我们可以发现：

1、34，6是12/2，而原题中的“4”是12/3

2、45，20/3是20/3，而原题中的“5”是20/4

第一题中的2、3、4是三个相邻的整数，第二题中的3、4、5也是三个相邻的整数。

因此可以得出一个规律：

已知△ABC的两条高线的长分别为x和kx（k是整数），若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长h的取值范围是 kx/(x+1) < h < kx/(x-1)，最大值是[kx/(x-1)]。（“[ ]”代表取整，小于括号内数的最大整数）

再举个例子：

已知△ABC的两条高线的长分别为12和60，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长h的取值范围是60/6 < h < 60/4，即10