纳什均衡

第1节 纳什:天才还是疯子?

《美丽心灵》是一部非常经典的影片,它再现了伟大的数学天才约翰·纳什的传奇经历,影片本身以及背后的人物原型都深深地打动了人们。这部影片上演后接连获得了第59届金球奖的5项大奖,以及2002年第74届奥斯卡奖的4项大奖。纳什是一位数学天才,他提出的“纳什均衡”是博弈论的理论支柱。同时,他还是诺贝尔经济学奖获得者。但这并不是他的全部,只是他传奇人生中辉煌的一面。我们在讲述“纳什均衡”之前,先来了解这位天才的传奇人生。纳什于1928年出生在美国西弗吉尼亚州。他的家庭条件非常优越,父亲是工程师,母亲是教师。纳什小时候性格孤僻,不愿意和同龄孩子一起玩耍,喜欢一个人在书中寻找快乐。当时纳什的数学成绩并不好,但还是展现出了一些天赋。比如,老师用一黑板公式才能证明的定理,纳什只需要几步便可完成,这也时常会让老师感到尴尬。

1948年,纳什同时被4所大学录取,其中便包括普林斯顿、哈佛这样的名校,最终纳什选择了普林斯顿。当时的普林斯顿学术风气非常自由,云集了爱因斯坦、冯·诺依曼等一批世界级的大师,并且在数学研究领域一直独占鳌头,是世界的数学中心。纳什在普林斯顿如鱼得水,进步非常大。

1950年,纳什发表博士论文《非合作博弈》,他在对这个问题继续研究之后,同年又发表了一篇论文《n人博弈中的均衡点》。这两篇论文不过是几十页纸,中间还掺杂着一些纳什画的图表。但就是这几十页纸,改变了博弈论的发展,甚至可以说改变了我们的生活。他将博弈论的研究范围从合作博弈扩展到非合作博弈,应用领域也从经济领域拓展到几乎各个领域。可以说“纳什均衡”之后的博弈论变成了一种在各行业各领域通用的工具。

发表博士论文的当年,纳什获得数学博士学位。1957年他同自己的女学生阿丽莎结婚,第二年获得了麻省理工学院的终身学位。此时的纳什意气风发,不到30岁便成为了闻名遐迩的数学家。1958年,《财富》杂志做了一个评选,纳什被评选为当时数学家中最杰出的明星。上帝喜欢与天才开玩笑,处于事业巅峰时期的纳什遭遇到了命运的无情打击,他得了一种叫作“妄想型精神分裂症”的疾病。这种精神分裂症伴随了他的一生,他常常看到一些虚幻的人物,并且开始衣着怪异,上课时会说一些毫无意义的话,常常在黑板上乱写乱画一些谁都不懂的内容。这使得他无法正常授课,只得辞去了麻省理工大学教授的职位。

辞职后的纳什病情更加严重,他开始给政治人物写一些奇怪的信,并总是幻觉自己身边有许多苏联间谍,而他被安排发掘出这些间谍的情报。精神和思维的分裂已经让这个曾经的天才变成了一个疯子。

他的妻子阿丽莎曾经深深被他的才华折服,但是现在面对着精神日益暴躁和分裂的丈夫,为了保护孩子不受伤害,她不得不选择同他离婚。不过,他们的感情并没有就此结束,她一直在帮他恢复。1970年,纳什的母亲去世,他的姐姐也无力抚养他,当纳什面临着露宿街头的困境时阿丽莎接收了他,他们又住到了一起。阿丽莎不但在生活中细致入微地照顾纳什,还特意把家迁到僻静的普林斯顿,远离大城市的喧嚣,她希望曾经见证纳什辉煌的普林斯顿大学能重新唤起纳什的才情。

妻子坚定的信念和不曾动摇过的爱深深地感动了纳什,他下定决心与病魔做斗争。最终在妻子的照顾和朋友的关怀下,20世纪80年代纳什的病情奇迹般地好转,并最终康复。至此,他不但可以与人沟通,还可以继续从事自己喜欢的数学研究。在这场与病魔的斗争中,他的妻子阿丽莎起了关键作用。走出阴影后的纳什成为1985年诺贝尔经济学奖的候选人,依据是他在博弈论方面的研究对经济的影响。但是最终他并没有获奖,原因有几个方面,一方面当时博弈论的影响和贡献还没有被人们充分认识;另一方面瑞典皇家学院对刚刚病愈的纳什还不放心,毕竟他患精神分裂症已经将近30年了,诺贝尔奖获得者通常要在颁奖典礼上进行一次演说,人们担心纳什的心智没有完全康复。

等到了1994年,博弈论在各领域取得的成就有目共睹,机会又一次靠近了纳什。但是此时的纳什没有头衔,瑞典皇家学院无法将他提名。这时纳什的老同学、普林斯顿大学的数理经济学家库恩出马,他先是向诺贝尔奖评选委员会表明:纳什获得诺贝尔奖是当之无愧的,如果以身体健康为理由将他排除在诺贝尔奖之外的话,那将是非常糟糕的一个决定。同时库恩从普林斯顿大学数学系为纳什争取了一个“访问研究合作者”的身份。这些努力没有白废,最终纳什站在了诺贝尔经济学奖高高的领奖台上。

当年,同时获得诺贝尔经济学奖的还有美国经济学家约翰·海萨尼和德国波恩大学的莱茵哈德·泽尔腾教授。他们都是在博弈论领域做出过突出贡献的学者,这标志着博弈论得到了广泛的认可,已经成为经济学的一个重要组成部分。

经过几十年的发展,“纳什均衡”已经成为博弈论的核心,纳什甚至已经成了博弈论的代名词。看到今天博弈论蓬勃地发展,真的不敢想象没有约翰·纳什的博弈论世界会是什么样子。

第2节 解放博弈论

我们一直在说纳什在博弈论发展中所占的重要地位,但是感性的描述是没有力量的,下面我们将从博弈论的研究和应用范围具体谈一下纳什的贡献,看一下“纳什均衡”到底在博弈论中占有什么地位。

前面我们已经介绍过了,博弈论是由美籍匈牙利数学家冯·诺依曼创立的。创立之初博弈论的研究和应用范围非常狭窄,仅仅是一个理论。1944年,随着《博弈论与经济行为》的发表,博弈论开始被应用到经济学领域,现代博弈论的系统理论开始逐步形成。

直到1950年纳什创立“纳什均衡”以前,博弈论的研究范围仅限于二人零和博弈。我们前面介绍过博弈论的分类,按照博弈参与人数的多少,可以分为两人博弈和多人博弈;按照博弈的结果可以分为正和博弈、零和博弈和负和博弈;按照博弈双方或者多方之间是否存在一个对各方都有约束力的协议,可以分为合作博弈和非合作博弈。

纳什之前博弈论的研究范围仅限于二人零和博弈,也就是参与者只有两方,并且两人之间有胜有负,总获利为零的那种博弈。

两人零和博弈是游戏和赌博中最常见的模式,博弈论最早便是研究赌博和游戏的理论。生活中的二人零和博弈没有游戏和体育比赛那么简单,虽然是一输一赢,但是这个输赢的范围还是可以计算和控制的。冯·诺依曼通过线性运算计算出每一方可以获取利益的最大值和最小值,也就是博弈中损失和赢利的范围。计算出的利益最大值便是博弈中我们最希望看到的结果,而最小值便是我们最不愿意看到的结果。这比较符合一些人做事的思想,那就是“抱最好的希望,做最坏的打算”。

二人零和博弈的研究虽然在当时非常先进和前卫,但是作为一个理论来说,它的覆盖面太小。这种博弈模式的局限性显而易见,它只能研究有两人参与的博弈,而现实中的博弈常常是多方参与,并且现实情况错综复杂,博弈的结局不止有一方获利另一方损失这一种,也会出现双方都赢利,或者双方都没有占到便宜的情况。这些情况都不在冯诺依曼当时的研究范围内。

这一切随着“纳什均衡”的提出全被打破了。1950年,纳什写出了论文《n人博弈中的均衡点》,其中便提到了“纳什均衡”的概念以及解法。当时纳什带着自己的观点去见博弈论的创始人冯·诺依曼,遭到了冷遇,之前他还遭受过爱因斯坦的冷遇。但是这并不能影响“纳什均衡”带给人们的轰动。

从纳什的论文题目《n人博弈中的均衡点》中可以看出,纳什主要研究的是多人参与,非零和的博弈问题。这些问题在他之前没人进行研究,或者说没人能找到对于各方来说都合适的均衡点。就像找出两条线的交汇点很容易,如果有的话,但是找出几条线的共同交汇点则非常困难。找到多方之间的均衡点是这个问题的关键,找不到这个均衡点,这个问题的研究便会变得没有意义,更谈不上对实践活动有什么指导作用。而纳什的伟大之处便是提出了解决这个难题的办法,这把钥匙便是“纳什均衡”,它将博弈论的研究范围从“小胡同”里引到了广阔天地中,为占博弈情况大多数的多人非零和博弈找到意义。纳什的论文《n人博弈中的均衡点》就像惊雷一样震撼了人们,他将一种看似不可能的事情变成了现实,那就是证明了非合作多人博弈中也有均衡,并给出了这种均衡的解法。“纳什均衡”的提出,彻底改变了人们以往对竞争、市场,以及博弈论的看法,它让人们明白了市场竞争中的均衡同博弈均衡的关系。

“纳什均衡”的提出奠定了非合作博弈论发展的基础,此后博弈论的发展主要便是沿着这条线进行。此后很长一段时间内,博弈论领域的主要成就都是对“纳什均衡”的解读或者延伸。甚至有人开玩笑说,如果每个人引用“纳什均衡”一次需要付给纳什一美元的话,他早就成为最富有的人了。

不仅是在非合作博弈领域,在合作博弈领域纳什也有突出的贡献。合作型博弈是冯·诺依曼在《博弈论与经济模型》一书中建立起来的,非合作型博弈的关键是如何争取最大利益,而合作型博弈的关键是如何分配利益,其中分配利益过程中的相互协商是非常重要的,也就是双方之间你来我往的“讨价还价”。但是冯·诺依曼并没有给出这种“讨价还价”的解法,或者说没有找到这个问题的解法。纳什对这个问题进行了研究,并提出了“讨价还价”问题的解法,他还进一步扩大范围,将合作型博弈看做是某种意义上的非合作性博弈,因为利益分配中的讨价还价问题归根结底还是为自己争取最大利益。

除此之外,纳什还研究博弈论的行为实验,他就曾经提出,简单的“囚徒困境”是一个单步策略,若是让参与者反复进行实验,就会变成一个多步策略。单步策略中,囚徒双方不会串供,但是在多步策略模式中,就有可能发生串供。这种预见性后来得到了验证,重复博弈模型在政治和经济上都发挥了重要作用。

纳什在博弈论上做出的贡献对现实的影响得到越来越多的体现。20世纪90年代,美国政府和新西兰政府几乎在同一时间各自举行了一场拍卖会。美国政府请经济学家和博弈论专家对这场拍卖会进行了分析和设计,参照因素就是让政府获得更多的利益,同时让商家获得最大的利用率和效益,在政府和商家之间找到一个平衡点。最终的结局是皆大欢喜,拍卖会十分成功,政府获得巨额收益,同时各商家也各取所需。而新西兰举行的那场拍卖会却是非常惨淡,关键原因是在机制设计上出现了问题,最终大家都去追捧热门商品,导致最后拍出的价格远远高于其本身的价值;而一些商品则无人问津,甚至有几种商品只有一个人参与竞拍,以非常低的成交价就拍走了。

正是因为对现实影响的日益体现,所以1994年的诺贝尔经济学奖被授予了包括纳什在内的三位博弈论专家。

我们最后总结一下纳什在博弈论中的地位,中国有句话叫“天不生仲尼,万古长如夜”。意思是老天不把孔子派到人间,人们就像永远生活在黑夜里一样。我们如果这样说纳什同博弈论的关系的话,就会显得夸张。但是纳什对博弈论的开拓性发展是任何人都无可比拟的,在他之前的博弈论就像是一条逼仄的胡同,而纳什则推倒了胡同两边的墙,把人们的视野拓展到无边的天际。

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