每周一算法:邻值查找

给定一个长度为 n n n的序列 A A A A A A中的数各不相同。

对于 A A A 中的每一个数 A i A_i Ai,求: m i n 1 ≤ j < i ∣ A i − A j ∣ min_{1≤jmin1j<iAiAj,以及令上式取到最小值的 j j j(记为 P i P_i Pi)。若最小值点不唯一,则选择使 A j A_j Aj较小的那个。

输入格式

第一行输入整数 n n n,代表序列长度。

第二行输入 n n n个整数 A 1 … A n A_1…A_n A1An,代表序列的具体数值,数值之间用空格隔开。

输出格式

输出共 n − 1 n−1 n1 行,每行输出两个整数,数值之间用空格隔开。

分别表示当 i i i 2 ∼ n 2\sim n 2n 时,对应的 m i n 1 ≤ j < i ∣ A i − A j ∣ min_{1≤jmin1j<iAiAj P i P_i Pi的值。

数据范围

n ≤ 1 0 5 n\le10^5 n105 ∣ A i ∣ ≤ 1 0 9 |A_i|≤10^9 Ai109

输入样例

3
1 5 3

输出样例

4 1
2 1

算法思想一

根据题目描述,对于每个元素 A i A_i Ai,要找到其左边与它差值最小的元素 A j A_j Aj 1 ≤ j < i 1\le j \lt i 1j<i),输出它们的差值的绝对值 ∣ A i − A j ∣ |A_i-A_j| AiAj,以及 j j j

计算与 A i A_i Ai差值有两种情况:

  • A i < A j A_iAi<Aj,差值 v = A j − A i v = A_j-A_i v=AjAi
  • A i > A j A_i>A_j Ai>Aj,差值 v = A i − A j v = A_i-A_j v=AiAj

也就是说,对于任意的 A i A_i Ai,如果能在 1 ∼ i 1\sim i 1i之间找到与 A i A_i Ai大小相邻的两个数 A l A_l Al A r A_r Ar,其中 A l A_l Al是小于 A i A_i Ai的最大值, A r A_r Ar是大于 A i A_i Ai的最小值,分别计算其与 A i A_i Ai的差值,取其中的较小者即可。

从给出的数据范围来看, n ≤ 1 0 5 n\le10^5 n105,对于每个元素必须在 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)的时间复杂度内,查找到大小相邻的两个元素,而且根据题目中给出的限制,序列 A A A的数各不相同,可以用C++ 标准库的std::set 来实现。

std::set 是 C++ 标准库中的一个容器,它按有序方式存储唯一元素的集合。std::set 中的元素自动按照严格弱序(Strict Weak Ordering)排序,并且每个元素都是唯一的。这意味着 std::set 中的元素是按照特定顺序排列并且不会存在重复值。下面是一些 std::set 的特点和用途:

  • 自动排序:std::set 内部使用红黑树(一种自平衡的二叉搜索树)实现,因此元素在容器中按照严格弱序排序。这使得元素能够以有序的方式存储,方便进行遍历和搜索操作。
  • 唯一性:std::set 中的元素是唯一的,相同的元素只会在容器中存在一个副本。这可以确保每个元素在集合中的唯一性。
  • 插入和查找效率高:由于 std::set 内部使用红黑树实现,插入和查找元素的时间复杂度为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn),其中 n n n 是容器中的元素数目。这使得 std::set 适合于需要高效地插入和查找元素的情况。
  • std::set的大部分操作是与vector类似的,不过set不支持随机访问,必须要使用迭代器去访问;
  • std::set插入元素的方法为insert
  • std::set查找元素的方法为find,返回一个迭代器set<类型>::iterator
    • 若元素存在,返回的迭代器指向键值
    • 若元素不存在,返回的迭代器指向set.end()

由于set是以有序方式存储唯一元素,那么可以遍历每个元素 A i A_i Ai

  • A i A_i Ai插入到set
  • set中查找元素 A i A_i Ai,返回指向 A i A_i Ai的迭代器
  • 通过迭代器可以找到与 A i A_i Ai大小相邻的两个元素,打擂台求最小值即可

时间复杂度

  • 遍历每个元素 A i A_i Ai,时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)
  • set中查找 A i A_i Ai,时间复杂度为 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)

总的时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

代码实现

#include 
#include 
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> PII;
int main()
{
    int n, x;
    cin >> n;
    set<PII> st;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> x;
        PII a = {x, i};
        st.insert(a);
        if(i > 1) {
            auto it = st.find(a); //find返回迭代器:set>::iterator
            int k = INF, p;
            if(++ it != st.end()) //通过迭代器找到下一个元素
                k = (*it).first - x, p = (*it).second;
            -- it; //将迭代器回到之前位置
            if(it != st.begin() && x - (*--it).first <= k) //如果和前一个元素的差值不大于k
                k = abs((*it).first - x), p = (*it).second;
            cout << k << " " << p << endl;
        }
    }
}

算法思想二

除了使用 std::set实现,这里再介绍一个双链表的实现方法。

  • 首先将序列 A A A排序,假设排序后为 A 3 A 4 . . . A n . . . A 2 A_3A_4...A_n...A_2 A3A4...An...A2
  • 根据上述序列可以构造出一个双链表,如下图所示

每周一算法:邻值查找_第1张图片
有了双链表之后,如何求 A i A_i Ai左边与它差值最小的元素呢?可以从后向前处理,也就是从 A n A_n An开始,因为 A n A_n An是原序列中最后一个元素,因此其它元素都在它左边。那么:

  • 对于元素 A n A_n An来说,假设其在双链表的位置为 k k k,其左边的元素 L [ k ] L[k] L[k]就是小于 A n A_n An的最大值,其右边元素 R [ k ] R[k] R[k]就是大于 A n A_n An的最小值。
  • 计算完相邻元素的差值之后,将 A n A_n An从双链表中删除,继续处理前一个元素。

重复这个过程,直到所有元素都处理完。

时间复杂度

  • 排序的时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
  • 排序后构建双链表的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)
  • 查找计算相邻元素差值的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)

总的时间复杂度为 O ( n l o g n + n + n ) O(nlogn+n+n) O(nlogn+n+n)

代码实现

#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
typedef pair<LL, int> PII;
PII a[N], ans[N];
int p[N], L[N], R[N];
int main()
{
    int n, x;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> x;
        a[i] = {x, i};
    }
    sort(a + 1, a + n + 1);
    //设置链表的首尾的值,避免其差值被选上
    a[0].first = -1e10, a[n + 1].first = 1e10; 
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        p[a[i].second] = i; //统计每个元素的新位置
        L[i] = i - 1, R[i] = i + 1; //建立双链表
    }
    //从第n个元素开始处理
    for(int i = n; i > 1; i --)
    {
        //第i个元素所在位置k
        int k = p[i], left = L[k], right = R[k], v = a[k].first;
        LL lv = v - a[left].first; //与左边对应元素的差值
        LL rv = a[right].first - v; //与右边对应元素的差值
        if(lv <= rv) ans[i] = {lv, a[left].second};
        else ans[i] = {rv, a[right].second}; 
        L[right] = left, R[left] = right; //删除k结点
    }
    //输出结果
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
        cout << ans[i].first << " " << ans[i].second << endl;
}

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