混沌的热状态

        在第一章里，我们接触了牛顿所描述的太阳系个简单的、可预测的“钟表式”体系。在这一章里，我们涉及的则是一个内含约10的23次方个各自随意飞舞的分子的体系。对于这样的体系，我们永远不可能了解其所有细节。不过，对于它的某些统计学性质，我们还是能够把握得到的。

        牛顿的太阳系之所以简单，是两个幸运的情势所致。其一，是太阳比所有的行星都重得多，因而，任何一颗行星所受到的来自其他行星的引力作用，都比太阳对它的引万小得多。这样，对每颗行星运行轨道按照其不受其它行星的作用的方式计算，其结果仍与实际情况相当接近。类似地，每颗行星的各个卫星的绕行星运行的轨道，也可以只根据该行星对此卫星的作用——这是因为只有该行星与此卫星最接近——近似得出。其二，是平方反比定律有这样一条性质，就是使在这种作用下的运行轨道成为闭合的、周期性重复的。

        在以这样的大为简单化的近似考虑为基础的结果上，就可以试着确定由行星间的作用或者太阳与卫星间的作用所造成的运行轨道的小的变化。这不是什么容易的事情。就连牛顿也不曾解决这种地一日一月的问题。

        困难之一是可能会出现的共振问题。共振这个词出自声学领域，因此也称共鸣。一把大提琴，在设计上要做到使琴身固有的振动频率接近于演奏时琴弦的振动率。由于这一设计，能量就会很方便地由琴弦传输给琴身，并随之传输给空气。类似地，在推荡打秋千的孩子时，最有效的方法是按秋千外加孩子这个系统的固有频率「就是让它们自己摆晃时的频率]推送。这样，每随看秋千的运动顺水推舟地推送一下，就会向它传输最大的能量。

        共振一词可用于与此类似的诸种情况，即向某个体系以其固有颜率相关的步骤重复地向之施加力的作用。这样，一个很小的力，最后会起到很大的作用。

        太阳系里是否存在看这和种共振作用呢？前文[1.6节的后一部分]中已经提到过，小行星带中存在的运行周期空缺，可能就是由于其周期与木星的运行周期的出现共振的结果。

        共振现象的可能存在，给19世纪和20世纪中打算精确计算太阳系中星体运动的人们造成了困难。在瑞典数学家米塔一莱福勒(Magnus Gosta Mittag-Leffler)为庆祝当时[l889年]瑞典及挪威两国国王奥斯卡二世(OscarⅡ)的60寿诞的倡议下，发起了一次数学征文活动。最后的中奖人是法国大数学家庞加莱(JulesHenri Poincareé)。他的得奖论文最后以《研究天体力学的新方法》为题发表。他发表的重大新真知灼见，是以几何学方法研究力学。

        让我们通过一个简单的模型，多少解释一下庞加莱的方法。先看一个简单之极的例子，这就是一只单摆。描述单摆运动有一个方便的做法，就是将其位移及速度分别在一个2维空间内的两个相互垂直的轴线上表示出来。这样一种包括速度和位置的2维空间叫做相空间。相空间内的每个点，表示的是单摆的一个态，给定了相空间的任何二个点，物体在随后所经历应者态，都可根据运动方程推断得出，结果会是相空间内的一条曲线。对于单摆这一情况而言[设定它的能量不很大，不会一直摆到最高点位置上去。

                                                    

        图2.7 单摆的相空间。摆锤的位移由横轴给出，速度由纵轴给出。闭合曲线代表单摆运动的一个完整的周期。如里它一直运动下去（不受摩漆阻力的作用)，它在相空间内的代表点俩会沿着这条曲线不停地运动。图上给出了曲线上4个点的位置。

        现在再来看一个不那么简单的情况。设想有两个单摆，每个都可以前前后后地摆动，而在它们之间，则可以通过连接的弹性小绳或类似的东西，产生彼此间的相互作用。如今，它们的相空间就是4维的了：两个位置和两个速度。即便是这样一个简单的模型，都需要有4个维度，真是比许多人设想的来得复杂。对于太阳一地球一月亮所构成的体系，则需要有一个12个维度的相空间。

        设想这个由两个单摆构成的体系的总能量是守恒的。它的能量中包括两个摆体的动能，加上它们的重力势能，以及将它们连接在一起的系绳的势能。因此，这是一个依赖于有4个变量的相空间的体系。但由于能量是守恒的[即总能量不变]，这一条件便给4个变量的容许取值加上了一项限制，从而将4个维度降为3个，描述也因而简单了些。但不幸的是，这3个维度并不构成一个简单的平直空间，而是基种弯曲的空间，有些类似球体表面的情况——但不是两个维度的表面，而是在此基础上推广而成的3维表面。

        先来看看这两个单摆之间没有相互作用的简单情况。这时世候，它们在3维空间内的最常见运动会有什么特点呢？答案是相空间内的各种可能的运动曲线，都会位于一个叫做圆环面的曲面上。圆环面是一种类似于自行车内胎表面的曲面。要在这种圆环面上画闭合曲线，可以有若干种方法。一是绕着环圈画出小的闭合曲线来，一是沿着最外缘处画出大的闭合曲线来。双单摆的运动就是由这两种曲线结合而成的，而且两者同时发生。图2.8中便表示了这种运动的结果。

                                     

                图28两个不相连接的单摆的相空间。这个图所要表现的，是四维相空间中的一个三维相空间部分（该部分代表着总能量的守恒）中的曲线。曲线所表示的，是该体系在圆环面（一个二维的曲面）上连续经历的态，它是同时绕小圈和大圈的共同结果。在图中所示的例子中，两个单摆的周期是相同的，因此曲线在绕小圈和绕大圈各走一周后，又回到了原先的位置上。注意：对于这个图示，请不要太拘泥地理解。三维空间是弯曲的，因此，在观看它在二维平直纸面上的表示时，有可能会产生错误的感觉。        

        这个图上所表示的，是一个十分特殊的情祝，即这两个单摆的摆动周期是相同的。因此，它们在相空间内描绘出沿圆环面的两个方向各绕行完整的一周之后又回到原先位置上的曲线。如果在两个单摆中，一个的摆动周期是另一个的两倍，它们的曲线便会在沿圆环面的一个方向绕行两周时，沿另一方向绕行一周。如果这两个周期成某个分数关系，则曲线最终仍会回到原先出发的位置上来。而倘若它们的比值是诸如√2或π之类不能成为任何分数的情况，曲线就会不断地绕着圆环面打转，但永远不会回到原先的出发点。

        这里有一点很重要，就是表示这两个单摆运动的曲线，是位于由能量守恒定律所限定的一个有两个维度的曲面上，而不会跑到它所在的3个维度的其他部分上去。这里存在的问题是：一旦在两个单摆之间出现相互作用时，又会出现什么样的情况呢？它们的运动，是会仍然被限定在诸如圆环面的上面呢，还是会在被能量限定的整个相空间内游弋，有如一团蓬松的毛线球呢？在20世纪五六十年代，三位苏联数学家科洛莫戈罗夫(A.NKolmogorov)、摩梭(J.K.Moser)和阿诺德(V.I.Arnold.)证明了一条重要的定理，对于上述的两个单摆的情况而言，这条定律是这样表述的：

        如果两个周期间不成分数关系，而且两个单摆间的相互作用又“足够小”，圆环面会有所变形，但会依然存在着。“足够小”的标准，职决于两个周期的此值与是否接近某个整数（这就是说，取决手起着重要作用的近共振状态是否不致出现)。

        当上述条件得不到满足时，曲线便会开始掠入相空间的其他区域，相互作用越强，掠入的区域就越大，这种偏离开圆环面的情况叫做混沌运边。混沌这个词话用不这意文始于1975年约克(James Yorke）的首创。它与黑洞这个名词一样，激发了公众的想像热情。

        计算器和计算机的发明，使对混沌运动的详细研究成为可能。在这类研究工作中，最出色的结果是E·洛伦兹(EdwardLorenz)在1963年取得的。他得出了一组方程，是针对大气中上升的热空气所提出的一个非常简化的模型。提出这一模型的目的之一，是希望看出气象可以在何种程度上得到预报。他得到的解答是随机式的。不过，就在这种随机无序中，以及在随机无序过程开始时，都表现出一定的模式。在对混沌运动的研究中，最令人兴奋的内容，就是发现与解释寓于随机无序中的这类方式。

        与混沌有关的一个重要性质，是运动开始时在相空间内聚拢在一起的曲线，会很快地分道扬镳、远远分开。对于这样的动力学体系[太阳系即为其一]，无论如何确定其初始态，都不可避免地存在着某种程度的不精确性。对初始位置和速度的测量难免会存在误差。假设选定相空间中的两个非常贴近的点，它们都很好地接近所知道的初始数据。然后，我们对从这两个点出发、对随后该体系各态所构成的曲线进行跟踪。可以看到的是，这两条曲线很快便拉开了距离，表明我们的预言能力是很有限的。图2.9就说明了这一概念。

                                        

         图2.9混沌运动的可预测性。由于测量上的误差，初始态可能为A,也可能为A'。对体系在相空间中通过这两个点的路径进行跟踪。在混沌运动中，路径可能会迅速离歧，且离歧的程度会在一定的时间内成倍增加[比如，从BB'到CC]。所预言的不确定性会迅速增大。

        在混沌运动中，存在着这样一种时间间隔。每经过这样一段时间间隔，离歧的程度便加大一倍。对此，作者称之为误差倍增时间。我们来借助一些假想的数字解释一下双摆体系中这个间隔的含义。设想我们对该体系的初始态的测量，精确度达到了百万分之一[很不错了！]的程度。如果在混沌系统中的误差倍增时间为一分钟，那么在过了10分钟后，不确定度便会达到千分之一[因为2的10次方=1024]，而在二十分钟后，就根本没有什么可预见性可言了。[因为2的20次方=1048576]。

        对于地球这个气象体系而言，通过计算机的分析表明，其误差倍增时间大约为2天左右。

        因此，混沌给确定性体系——所谓确定性体系，是指其运动是由一系列运动定律惟一地决定着的——的可预测性罩上了无法避免的实用角度上的局限。也许人们无权提出更高的要求。在计算机时代到来之前，人们的数学知识显然是囿于非混沌性运动中的相当特殊的个例的。

        太阳系是混沌体系吗？对天文观测数据的分析研究[可参看皮特森的《牛顿之钟：太阳系中的混沌》一书]表明，以冥王星的轨道而论，它的误差倍增时间约为1000万年。与之形成对照的，是太阳系作为一个整体，业已存在了10亿年[10的9次方年]以上。如果太阳系是混沌性的，它到底是不是稳定的呢？会不会曾经有某颗行星。由于偶然的原因，获得足够大的速度，致使它最终逃逸掉了呢？也许，太阳系里曾经有过某些在不很稳定的轨道上运行的星体，而由于这一原因，这些轨道早就空了下来了吧。

        在以上有关混沌的简单介绍中，作者只限于讨论封闭体系的情形[讨论中提到的太阳系就近似地是封闭的]。在实际研究中，不少体系并不是封闭的：摩擦作用会造成能量的损耗；体系之外的驱幼作用则会向体系提供能量。然而正是在这种情况下，混沌表现出若干最令人感兴趣的性质来。所谓相空间内“奇怪吸引子”的存在，就是这样的例子。

        混沌无疑是字宙间普遍存在的现象。如此笼统地说一说，实际作用并没有多么大。重要的问题也都是困难的，诸如：不同体系的误差倍增时间各会是多长：有关细节知识的平均性质，会不会比细节更具可预测性：在混沌情况下仍会持续的存在——如木星上的大红斑——会具有何种特性；人们是否可能将气象预报能力再提前一天，而仍保证结果的可靠程度：混沌中寓有怎样的模式，等等。

        不过，混沌又和这一章的内容——热——有何干系呢？相空间这一概念，是可以用于诸如气体之类的大数量体系的。这时，相空间的维数会达到10的24次方，也许小上10倍、百倍或者千倍，也许大上类似的倍数。这样的空间，我们根本无法幕想，不过在数学上仍是有明确定义的。气体中所有分子在任何时刻的运动态，总是由相应相空间中的一个点表示。全部气体的运动史，则是这个点在相空间运动所形成的曲线。

        在前面的几节文字中，作者用到了无规和平均两个词。它们的精确含义又是什么？既然一切都是由几条运动定律决定的，却为何有“无规性”一说呢？平均又是对什么而言的呢？运动越带混沌性，对上述问题的解答就表现得越明显。如果相空间中的曲线——它代表气体的运动历史——在相空间的所有部分都纠结成一团，那么，平均就应当是对整个相空间而言的才有道理。而将不同的曲线开始时聚在一起，而后很快彼此完全分开的性质称为无规，也就不是什么不适当的说法了。

        热“无非”就是遵从着运动定律的微小粒子的运动能量。不过，要想理解热与温度，还必须进而用到另外一个概念，一个非力学的概念：熵。熵被定义为人们对宏观物体的微观状态的不子解程度的量度。无规性这一难于把握的观念就与熵有关系。

        “熵增加原理”看来使时间有了微观运动定律中所不具备的方向性，因此导致了带有根本意义的重要问题。