唐-import-某人
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奇偶公式推导

推导前提:

  • 基函数: f ( x ) = − f ( − x ) f(x)=-f(-x) f(x)=−f(−x)
  • 偶函数: f ( x ) = f ( − x ) f(x)=f(-x) f(x)=f(−x)

1. 奇 函 数 ∗ 奇 函 数 = 偶 函 数 奇函数*奇函数=偶函数 奇函数∗奇函数=偶函数

f 1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) f_1(x)*f_2(x) f1​(x)∗f2​(x)
= − f 1 ( − x ) ∗ − f 2 ( − x ) =-f_1(-x)*-f_2(-x) =−f1​(−x)∗−f2​(−x)
= f 1 ( − x ) ∗ f 2 ( − x ) =f_1(-x)*f_2(-x) =f1​(−x)∗f2​(−x)
∴ 可 将 f 1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) 的 中 f 1 与 f 2 的 关 系 映 射 为 g ( x ) ∴可将f_1(x)*f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x) ∴可将f1​(x)∗f2​(x)的中f1​与f2​的关系映射为g(x)
∵ g ( x ) = g ( − x ) ∵g(x)=g(-x) ∵g(x)=g(−x)

2. 偶 函 数 ∗ 偶 函 数 = 偶 函 数 偶函数*偶函数=偶函数 偶函数∗偶函数=偶函数

f 1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) f_1(x)*f_2(x) f1​(x)∗f2​(x)
= f 1 ( − x ) ∗ f 2 ( − x ) =f_1(-x)*f_2(-x) =f1​(−x)∗f2​(−x)
∴ 可 将 f 1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) 的 中 f 1 与 f 2 的 关 系 映 射 为 g ( x ) ∴可将f_1(x)*f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x) ∴可将f1​(x)∗f2​(x)的中f1​与f2​的关系映射为g(x)
∵ g ( x ) = g ( − x ) ∵g(x)=g(-x) ∵g(x)=g(−x)

3. 奇 函 数 ∗ 偶 函 数 = 奇 函 数 奇函数*偶函数=奇函数 奇函数∗偶函数=奇函数

f 1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) ， 令 f 1 ( x ) 为 奇 , f 2 ( x ) 为 偶 f_1(x)*f_2(x)，令f_1(x)为奇,f_2(x)为偶 f1​(x)∗f2​(x)，令f1​(x)为奇,f2​(x)为偶
f 1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) f_1(x)*f_2(x) f1​(x)∗f2​(x)
= − f 1 ( − x ) ∗ f 2 ( − x ) =-f_1(-x)*f_2(-x) =−f1​(−x)∗f2​(−x)
∴ 可 将 f 1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) 的 中 f 1 与 f 2 的 关 系 映 射 为 g ( x ) ∴可将f_1(x)*f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x) ∴可将f1​(x)∗f2​(x)的中f1​与f2​的关系映射为g(x)
∵ g ( x ) = − g ( − x ) ∵g(x)=-g(-x) ∵g(x)=−g(−x)

4. 奇 函 数 复 合 奇 函 数 = 奇 函 数 奇函数 复合 奇函数=奇函数 奇函数复合奇函数=奇函数

f 1 ( f 2 ( x ) ) f_1(f_2(x)) f1​(f2​(x))
= f 1 ( − f 2 ( − x ) ) =f_1(-f_2(- x)) =f1​(−f2​(−x))
= − f 1 ( f 2 ( − x ) ) =-f_1(f_2(-x)) =−f1​(f2​(−x))
∴ 可 将 f 1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) 的 中 f 1 与 f 2 的 关 系 映 射 为 g ( x ) ∴可将f_1(x)*f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x) ∴可将f1​(x)∗f2​(x)的中f1​与f2​的关系映射为g(x)
∵ g ( x ) = − g ( − x ) ∵g(x)=-g(-x) ∵g(x)=−g(−x)

5. 偶 函 数 复 合 偶 函 数 = 偶 函 数 偶函数 复合 偶函数=偶函数 偶函数复合偶函数=偶函数

f 1 ( f 2 ( x ) ) f_1(f_2(x)) f1​(f2​(x))
= f 1 ( f 2 ( − x ) ) =f_1(f_2(-x)) =f1​(f2​(−x))
∴ 可 将 f 1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) 的 中 f 1 与 f 2 的 关 系 映 射 为 g ( x ) ∴可将f_1(x)*f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x) ∴可将f1​(x)∗f2​(x)的中f1​与f2​的关系映射为g(x)
∵ g ( x ) = g ( − x ) ∵g(x)=g(-x) ∵g(x)=g(−x)

6. 偶 函 数 复 合 奇 函 数 = 偶 函 数 偶函数 复合 奇函数=偶函数 偶函数复合奇函数=偶函数

f 1 ( f 2 ( x ) ) ， 令 f 1 ( x ) 为 奇 , f 2 ( x ) 为 偶 f_1(f_2(x))，令f_1(x)为奇,f_2(x)为偶 f1​(f2​(x))，令f1​(x)为奇,f2​(x)为偶
= f 1 ( f 2 ( − x ) ) =f_1(f_2(- x)) =f1​(f2​(−x))
= f 1 ( − f 2 ( − x ) ) =f_1(-f_2(-x)) =f1​(−f2​(−x))
= f 1 ( f 2 ( − x ) ) =f_1(f_2(-x)) =f1​(f2​(−x))
∴ 可 将 f 1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) 的 中 f 1 与 f 2 的 关 系 映 射 为 g ( x ) ∴可将f_1(x)*f_2(x)的中f_1与f_2的关系映射为g(x) ∴可将f1​(x)∗f2​(x)的中f1​与f2​的关系映射为g(x)
∵ g ( x ) = g ( − x ) ∵g(x)=g(-x) ∵g(x)=g(−x)

7. 奇 函 数 复 合 偶 函 数 = ? ? ? 奇函数 复合 偶函数=??? 奇函数复合偶函数=???

f 1 ( f 2 ( x ) ) ， 令 f 1 ( x ) 为 奇 , f 2 ( x ) 为 偶 f_1(f_2(x))，令f_1(x)为奇,f_2(x)为偶 f1​(f2​(x))，令f1​(x)为奇,f2​(x)为偶
= f 1 ( f 2 ( x ) ) =f_1(f_2(x)) =f1​(f2​(x))
= f 1 ( f 2 ( − x ) =f_1(f_2(-x) =f1​(f2​(−x)
= − f 1 ( − f 2 ( − x ) ) =-f_1(-f_2(-x)) =−f1​(−f2​(−x))

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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他