【重学C语言之猴子吃桃】(一文了解循环和递归在解决程序问题与数学的关系)

问题:猴子第一天摘下N个桃子,
当时就吃了一半,还不过瘾,
就又多吃了一个。第二天又将剩下的桃子吃掉一半,
又多吃了一个。以后每天都吃前一天剩下的一半零一个。
到第10天在想吃的时候就剩一个桃子了,
问第一天共摘下来多少个桃子?


解答: 由于目前只知道猴子第十天剩余的桃子数量为1个,采用逆向思维方式, 故设桃子的剩余数量为x个,则:

  1. 第十天: $x / 2 - 1 = 1 $ , 得到第九天剩余 $ x = 2 * (1 + 1) = 4 $个, 依次类推,第八天剩余 $ x = 2 * (4 + 1) = 10 $等。

  2. 以桃子数量为参考,得到如下公式推导:

    第10天:$ x_{10} = 1 $

    第9天: $ x_9 = ( x_{10} + 1 ) * 2 = 4 $

    第8天: $ x_8 = ( x_9 + 1 ) * 2 = 10 $

    第7天: $ x_7 = ( x_8 + 1 ) * 2 = 22 $

    第1天: $ x_1 = 2 * ( x_2 + 1 ) = ? $

    总结公式: x n x_n xn = ( $x_{n + 1} $ + 1 ) * 2

  3. 以剩余桃子数量的函数为参考。得到如下公式推导:

    第10天: f(10) = 1

    第9天: f(9) = ( f(10) + 1 ) * 2 = 4

    第8天: f(8) = ( f(9) + 1 ) * 2 = 10

    第7天: f(7) = ( f(8) + 1 ) * 2 = 22

    第1天: f(1) = ( f(2) + 1 ) * 2 = ?

    总结公式: f(n) = ( f(n + 1) + 1 ) * 2

  4. Coding。。。

  • 循环解决方案(以桃子数量为参考)
#include 

int getPeachNumber() {
    int num = 1;  // 第10天剩下的桃子数量
    for (int n = 9; n >= 1; n--) {
        num = (num + 1) * 2;
        printf("第%d天所剩桃子%d个\n", n, num);
    }
    return num;
}

int main() {
    int num = getPeachNumber();
    printf("猴子第一天摘了:%d个桃子。\n", num);
    return 0;
}
  • 递归解决方案(以剩余桃子数量的函数为参考)

#include 

int getPeachNumber(int n)  
{
    int num;    
    if(n==10)
    {
       return 1;      
    } 
    else
    {
        num = (getPeachNumber(n+1)+1)*2;  
        printf("第%d天所剩桃子%d个\n", n, num); 
    }
    return num;
}
int main()
{
    int num = getPeachNumber(1);
    printf("猴子第一天摘了:%d个桃子。\n", num);
    return 0;
}


思考(Thinking)

  • 当前循环和递归的实际解决方案,其实是我们所看的问题的视角不同,站在不同的角色去处理不同的数学逻辑。并且可以通过数学推导,得到对应参考的公式,从而解决实际问题。

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