【重学C语言之猴子吃桃】（一文了解循环和递归在解决程序问题与数学的关系）

问题：猴子第一天摘下N个桃子，
当时就吃了一半，还不过瘾，
就又多吃了一个。第二天又将剩下的桃子吃掉一半，
又多吃了一个。以后每天都吃前一天剩下的一半零一个。
到第10天在想吃的时候就剩一个桃子了,
问第一天共摘下来多少个桃子？

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解答： 由于目前只知道猴子第十天剩余的桃子数量为1个，采用逆向思维方式， 故设桃子的剩余数量为x个,则：

1. 第十天： $x / 2 - 1 = 1 $ ， 得到第九天剩余 $ x = 2 * (1 + 1) = 4 $个， 依次类推，第八天剩余 $ x = 2 * (4 + 1) = 10 $等。

2. 以桃子数量为参考，得到如下公式推导：

   第10天：$ x_{10} = 1 $

   第9天： $ x_9 = ( x_{10} + 1 ) * 2 = 4 $

   第8天： $ x_8 = ( x_9 + 1 ) * 2 = 10 $

   第7天： $ x_7 = ( x_8 + 1 ) * 2 = 22 $

   …

   第1天： $ x_1 = 2 * ( x_2 + 1 ) = ？ $

   总结公式： $x_n$ = ( $x_{n + 1} $ + 1 ) * 2

3. 以剩余桃子数量的函数为参考。得到如下公式推导：

   第10天： f(10) = 1

   第9天： f(9) = ( f(10) + 1 ) * 2 = 4

   第8天： f(8) = ( f(9) + 1 ) * 2 = 10

   第7天： f(7) = ( f(8) + 1 ) * 2 = 22

   …

   第1天： f(1) = ( f(2) + 1 ) * 2 = ？

   总结公式： f(n) = ( f(n + 1) + 1 ) * 2

4. Coding。。。

• 循环解决方案（以桃子数量为参考）

#include 

int getPeachNumber() {
    int num = 1;  // 第10天剩下的桃子数量
    for (int n = 9; n >= 1; n--) {
        num = (num + 1) * 2;
        printf("第%d天所剩桃子%d个\n", n, num);
    }
    return num;
}

int main() {
    int num = getPeachNumber();
    printf("猴子第一天摘了:%d个桃子。\n", num);
    return 0;
}

• 递归解决方案（以剩余桃子数量的函数为参考）

#include 

int getPeachNumber(int n)  
{
    int num;    
    if(n==10)
    {
       return 1;      
    } 
    else
    {
        num = (getPeachNumber(n+1)+1)*2;  
        printf("第%d天所剩桃子%d个\n", n, num); 
    }
    return num;
}
int main()
{
    int num = getPeachNumber(1);
    printf("猴子第一天摘了:%d个桃子。\n", num);
    return 0;
}

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思考（Thinking）

• 当前循环和递归的实际解决方案，其实是我们所看的问题的视角不同，站在不同的角色去处理不同的数学逻辑。并且可以通过数学推导，得到对应参考的公式，从而解决实际问题。

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