查找最小的k个元素

题目：输入n个整数，输出其中最小的k个。

例如输入1，2，3，4，5，6，7和8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3和4。

分析：这道题最简单的思路莫过于把输入的n个整数排序，这样排在最前面的k个数就是最小的k个数。只是这种思路的时间复杂度为O(nlogn)。我们试着寻找更快的解决思路。

我们可以先创建一个大小为k的数据容器来存储最小的k个数字。接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有的数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器之中；如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只能替换已有的数字。我们找出这已有的k个数中最大值，然和拿这次待插入的整数和这个最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最大值小，则用这个数替换替换当前已有的最大值；如果带插入的值比当前已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的k个整数之一，因为我们容器内已经有k个数字比它小了，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做三件事情：一是在k个整数中找到最大数，二是有可能在这个容器中删除最大数，三是可能要插入一个新的数字，并保证k个整数依然是排序的。如果我们用一个二叉树来实现这个数据容器，那么我们能在O(logk)时间内实现这三步操作。因此对于n个输入数字而言，总的时间效率就是O(nlogk)。

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于我们每次都需要找到k个整数中的最大数字，我们很容易想到用最大堆。在最大堆中，根结点的值总是大于它的子树中任意结点的值。于是我们每次可以在O(1)得到已有的k个数字中的最大值，但需要O(logk)时间完成删除以及插入操作。

我们自己从头实现一个最大堆需要一定的代码。我们还可以采用红黑树来实现我们的容器。红黑树通过把结点分为红、黑两种颜色并根据一些规则确保树是平衡的，从而保证在红黑树中查找、删除和插入操作都只需要O(logk)。在STL中set和multiset都是基于红黑树实现的。如果面试官不反对我们用STL中的数据容器，我们就直接拿过来用吧。下面是基于STL中的multiset的参考代码：

 1 typedef multiset<int, greater<int> >  IntHeap;

 2 

 3 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

 4 // find k least numbers in a vector

 5 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

 6 void FindKLeastNumbers

 7 (

 8       const vector<int>& data,               // a vector of data

 9       IntHeap& leastNumbers,                 // k least numbers, output

10       unsigned int k                              

11 )

12 {

13       leastNumbers.clear();

14 

15       if(k == 0 || data.size() < k)

16             return;

17 

18       vector<int>::const_iterator iter = data.begin();

19       for(; iter != data.end(); ++ iter)

20       {

21             // if less than k numbers was inserted into leastNumbers

22             if((leastNumbers.size()) < k)

23                   leastNumbers.insert(*iter);

24 

25             // leastNumbers contains k numbers and it's full now

26             else

27             {

28                   // first number in leastNumbers is the greatest one

29                   IntHeap::iterator iterFirst = leastNumbers.begin();

30 

31                   // if is less than the previous greatest number 

32                   if(*iter < *(leastNumbers.begin()))

33                   {

34                         // replace the previous greatest number

35                         leastNumbers.erase(iterFirst);

36                         leastNumbers.insert(*iter);

37                   }

38             }

39       }

40 }

 

以上转自何海涛博客

《编程之美》 2.5节，139页有这道题的详细分析，给出了多种不同的解法。

算法导论第九章有此类问题的分析，理论上存在线性解法，但是按照《编程之美》所说，线性算法的常数项较大，在实际应用中效果有时并不好。