数学建模——图论经典问题及知识框架总结

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解决数学优化的两大类方法，一类是数学规划，另一类则是图论。本文将列举一些数学建模中常遇到的图论经典问题的大致介绍与框架

一、可行遍性问题

• 欧拉问题（经过所有的边恰好一次） 邮递员问题
• 哈密尔顿问题（经过所有的点恰好一次） 旅行商问题（TSP）
  一般用作检验np 哈密尔顿圈不唯一，要找到一个路径最短

国赛涉及

• 98年灾情巡视
• 碎纸片的拼接

二、选址问题

问题描述：
选址问题在生产生活、物流、甚至军事中都有着非常广泛的应用，如工厂、仓库、急救中心、消防站、垃圾处理中心、物流中心、导弹仓库的选址等。选址是最重要的长期决策之一，选址的好坏直接影响到利润和市场竞争力。好的选址会给人民的生活带来便利，降低成本，扩大利润。
类别：

1. 第一类选址问题—使最大服务路程达到最小
   描述: 假如某县拟建立一个消防站,为该县辖区内七个城试服务，问设在哪一个城市上才能便它整最选城够的路程达到最小?
   

2. 第二类选址问题—使运输量达到最小
   描述：假如有5个矿点，要从这7个矿点中选出1个来造一个选矿厂广，问应选在何处，才能使各矿点所出的矿石运到选矿厂时,所花费的总运力(千吨公里数）最少?

三、最短路

问题描述：
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。基本内容是：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
算法

• Dijkstra算法求某一点到其余点的最短路径
• Floyd算法求所有点之间的最短路径

四、最小树

问题描述：
在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集且为无循环图，使得联通所有结点的的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。
算法

• Prim算法（加点)

• Kruskal算法（加边，每次选最小的边权，并确保形不成圈，直到边的条数=顶点数-1）
  贪心算法，每一步最优，但不能保证全局最优

五、最大流

问题描述：
最大流问题，是网络流理论研究的一个基本问题，求网络中一个可行流f*，使其流量v(f)达到最大， 这种流f称为最大流，这个问题称为(网络)最大流问题。最大流问题是一个特殊的线性规划问题，就是在容量网络中，寻找流量最大的可行流。