POJ 1830 【高斯消元第一题】

首先...使用abs()等数学函数的时候，浮点数用#include<cmath>，其它用#include<cstdlib>。

概念：

【矩阵的秩】

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

 

此题如果有解，解的个数便是2^(自由变元个数)，因为每个变元都有两种选择，既1 << n

对于r以下的行，必定全是0，那么如果a[i][n]!=0 必然出现矛盾，于是判定无解。

 

  1 #include <iostream>

  2 #include <cstdlib>

  3 #include <cstring>

  4 #include <stdio.h>

  5 using namespace std;

  6 

  7 const int MAXN = 50;

  8 

  9 int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵

 10 int x[MAXN];//解集

 11 bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元

 12 

 13 void Debug(int equ, int var){

 14     int i, j;

 15     for (i = 0; i < equ; i++){

 16         for (j = 0; j < var + 1; j++){

 17             cout << a[i][j] << " ";

 18         }

 19         cout << endl;

 20     }

 21     cout << endl;

 22 }

 23 

 24 int gcd(int a, int b){

 25     int t;

 26     while (b != 0){

 27         t = b;

 28         b = a%b;

 29         a = t;

 30     }

 31     return a;

 32 }

 33 int lcm(int a, int b){

 34     return a / gcd(a, b)*b;//先除后乘防溢出

 35 }

 36 

 37 // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，

 38 //-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)

 39 //有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.

 40 int Gauss(int equ, int var){

 41     int i, j, k;

 42     int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.

 43     int col;//当前处理的列

 44     int ta, tb;

 45     int LCM;

 46     int temp;

 47     int free_x_num;

 48     int free_index;

 49 

 50     for (int i = 0; i <= var; i++){

 51         x[i] = 0;

 52         free_x[i] = true;

 53     }

 54 

 55     //转换为阶梯阵.

 56     col = 0; // 当前处理的列

 57     for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++){// 枚举当前处理的行.

 58         // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)

 59         max_r = k;

 60         for (i = k + 1; i<equ; i++){

 61             if (abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r = i;

 62         }

 63         if (max_r != k){// 与第k行交换.

 64             for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);

 65         }

 66         if (a[k][col] == 0){// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.

 67             k--;

 68             continue;

 69         }

 70         for (i = k + 1; i < equ; i++){// 枚举要删去的行.

 71             if (a[i][col] != 0){

 72                 LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));

 73                 ta = LCM / abs(a[i][col]);

 74                 tb = LCM / abs(a[k][col]);

 75                 if (a[i][col] * a[k][col] < 0)tb = -tb;//异号的情况是相加

 76                 for (j = col; j < var + 1; j++)

 77                 {

 78                     a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;

 79                 }

 80             }

 81         }

 82     }

 83 

 84     //  Debug();

 85 

 86     // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).

 87     for (i = k; i < equ; i++){ // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.

 88         if (a[i][col] != 0) return -1;

 89     }

 90     // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.

 91     // 且出现的行数即为自由变元的个数.

 92     if (k < var){

 93         // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.

 94         for (i = k - 1; i >= 0; i--){

 95             // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.

 96             // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.

 97             free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.

 98             for (j = 0; j < var; j++){

 99                 if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;

100             }

101             if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.

102             // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.

103             temp = a[i][var];

104             for (j = 0; j < var; j++){

105                 if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];

106             }

107             x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.

108             free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.

109         }

110         return var - k; // 自由变元有var - k个.

111     }

112     // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.

113     // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.

114     for (i = var - 1; i >= 0; i--){

115         temp = a[i][var];

116         for (j = i + 1; j < var; j++){

117             if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];

118         }

119         if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.

120         x[i] = temp / a[i][i];

121     }

122     return 0;

123 }

124 int start[MAXN];

125 int endd[MAXN];

126 

127 int main(){

128     int t;

129     cin >> t;

130     while (t--){

131         int n;

132         cin >> n;

133         for (int i = 0; i < n; i++) cin >> start[i];

134         for (int i = 0; i < n; i++) cin >> endd[i];

135         memset(a, 0, sizeof(a));

136         int b, c;

137         while (cin >> b >> c && (b || c)){

138             a[c - 1][b - 1] = 1;

139         }

140         for (int i = 0; i < n; i++)a[i][i] = 1;

141         for (int i = 0; i < n; i++)a[i][n] = start[i] ^ endd[i];

142         //Debug(n, n);

143         int ans = Gauss(n, n);

144         if (ans == -1) cout << "Oh,it's impossible~!!" << endl;

145         else cout << (1 << ans) << endl;

146     }

147 }

 

From:http://blog.csdn.net/zhengnanlee/article/details/11602995