POJ2728 最小比率生成树/0-1分数规划/二分/迭代（迭代不会）

用01分数规划 + prime + 二分 竟然2950MS惊险的过了QAQ

前提是在TLE了好几次下过的 = =

题目意思：
有n个村庄，村庄在不同坐标和海拔，现在要对所有村庄供水，只要两个村庄之间有一条路即可，建造水管距离为坐标之间的欧几里德距离，费用为海拔之差，现在要求方案使得费用与距离的比值最小，很显然，这个题目是要求一棵最优比率生成树。

解题思路：

对答案进行二分，当把代进去的答案拿来算最小生成树的时候，一旦总路径长度为0，就是需要的答案。

0-1规划是啥？
 
概念
有带权图G, 对于图中每条边e[i], 都有benifit[i](收入)和cost[i](花费), 我们要求的是一棵生成树T, 它使得 ∑(benifit[i]) / ∑(cost[i]), i∈T 最大(或最小).这显然是一个具有现实意义的问题.
解法之一 0-1分数规划
设x[i]等于1或0, 表示边e[i]是否属于生成树.
则我们所求的比率 r = ∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]), 0≤i<m .
为了使 r 最大, 设计一个子问题---> 让 z = ∑(benifit[i] * x[i]) - l * ∑(cost[i] * x[i]) = ∑(d[i] * x[i]) 最大 (d[i] = benifit[i] - l * cost[i]) , 并记为z(l). 我们可以兴高采烈地把z(l)看做以d为边权的最大生成树的总权值.

然后明确两个性质:
　1. z单调递减
　　证明: 因为cost为正数, 所以z随l的减小而增大.
　2. z( max(r) ) = 0
　　证明: 若z( max(r) ) < 0, ∑(benifit[i] * x[i]) - max(r) * ∑(cost[i] * x[i]) < 0, 可化为 max(r) < max(r). 矛盾;
　　 若z( max(r) ) >= 0, 根据性质1, 当z = 0 时r最大.

 

贴代码：

 1 //#pragma comment(linker, "/STACK:16777216") //for c++ Compiler

 2 #include <stdio.h>

 3 #include <iostream>

 4 #include <climits>

 5 #include <cstring>

 6 #include <cmath>

 7 #include <stack>

 8 #include <vector>

 9 #include <algorithm>

10 #define ll long long

11 using namespace std;

12 

13 const int INF = 0x3f3f3f3f;

14 const int MAXN = 1001;

15 struct node{

16     double x,y,h;

17 }dot[MAXN];

18 

19 double map[MAXN][MAXN];

20 int n;

21 double dis(double x1,double y1,double x2,double y2){

22     return sqrt( (x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1) );

23 }

24 

25 void creat(int n,double l){

26     for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)

27         map[i][j]=fabs(dot[i].h-dot[j].h) - l * dis(dot[i].x,dot[i].y,dot[j].x,dot[j].y);

28 }

29 

30 double prim(){

31     bool vis[MAXN];

32     memset(vis, 0, sizeof(vis));

33     double dis[MAXN];

34     double ans = 0;

35     int i,j;

36     vis[1] = true;

37     for(i = 1; i <= n; ++i)

38         dis[i] = map[1][i];

39     for(i = 1; i < n; ++i){

40         int temp = INF, flag;

41         for(j = 1; j <= n; ++j){

42             if(!vis[j] && dis[j] <= temp){

43                 temp = dis[j];

44                 flag = j;

45             }

46         }

47         vis[flag] = true;

48         ans += dis[flag];

49         for(j = 1; j <= n; ++j){

50             if(!vis[j] && map[flag][j] < dis[j])

51                 dis[j] = map[flag][j];

52         }

53     }

54     return ans;

55 }

56 

57 int main(){

58     int i,j;

59     double res,front,rear, mid;

60     while(EOF != scanf("%d",&n)){

61         if(n==0)    break;

62         for(i=1;i<=n;i++)

63             scanf("%lf%lf%lf",&dot[i].x,&dot[i].y,&dot[i].h);

64         front = 0;

65         rear = 100.0;//doubt

66         while(front <= rear){

67             mid = (front + rear) / 2;

68             creat(n,mid);

69             res = prim();

70             if(fabs(res) < 1e-4)

71                 break;

72             else if(res > 1e-4)

73                 front = mid;

74             else

75                 rear = mid;

76         }

77         printf("%.3f\n",mid);

78     }

79     return 0;

80 }