常用等价无穷小替换

$$x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim \ln (1+x)\sim e^x-1$$

$$a^x-1\sim x\ln a$$

$$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$$

$$x-ln(1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$$

$$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2,1-co{s}^{k}x\sim \frac{k}{2}{x}^2$$

$$\sin x-x\sim -\frac{1}{6}{x}^3,\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$$

$$\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3,\arctan x-x\sim -\frac{1}{3}{x}^3$$

注： A-B型的等价无穷小，可通过泰勒公式推导出来。推导原则是，“幂次最低”原则，即展开到系数不相等的 $x$ 的最低次幂。