缺失的第一个正数（LeetCode 41）

1.问题描述

给你一个未排序的整数数组 nums ，请你找出其中没有出现的最小的正整数。

请你实现时间复杂度为 O(n) 并且只使用常数级别额外空间的解决方案。

示例 1：

输入：nums = [1,2,0]
输出：3

示例 2：

输入：nums = [3,4,-1,1]
输出：2

示例 3：

输入：nums = [7,8,9,11,12]
输出：1

提示：

1 <= nums.length <= 5 * 10^5
-2^31 <= nums[i] <= 2^31 - 1

2.难度等级

Hard。

这道题很简单，但是题目的要求是 O(n) 的时间复杂度和 O(1) 空间复杂度，所以难度上升到了 Hard。

3.热门指数

★★★★☆

4.解题思路

4.1 暴力

最容易想到的做法是暴力法。

我们可以从 1 开始依次枚举正整数，并遍历数组，判断其是否在数组中。

时间复杂度：

如果数组的长度为 n，时间复杂度为 O(n^2)。

所以该算法时间复杂度不满足题目要求。

空间复杂度：

O(1)。只需要常数级别的空间存储若干变量。

下面以 Golang 为例给出实现。

func firstMissingPositive(nums []int) int {
	p := 1
	for {
		exist := false
		for i := 0; i < len(nums); i++ {
			if nums[i] == p {
				p++
				exist = true
                break
			}
		}
		if !exist {
			return p
		}
	}
}

4.2 排序

我们可以对数组排序，然后遍历数组，找到第一个不在 nums 中的正整数。

时间复杂度：

O(nlogn)，排序一般时间复杂度为 O(nlogn)，然后遍历排序后的数组，最坏时间复杂度为 O(n)，所以总的时间复杂度为 O(nlogn)。

所以该算法时间复杂度不满足题目要求。

空间复杂度：

O(1)。只需要常数级别的空间存储若干变量。

下面以 Golang 为例给出实现。

func firstMissingPositive(nums []int) int {
	slices.Sort(nums)
	p := 1
	for i := 0; i < len(nums); i++ {
		if nums[i] == p {
			p++
		}
	}
	return p
}

4.3 哈希表

我们可以将数组所有的数放入哈希表，随后从 1 开始依次枚举正整数，并判断其是否在哈希表中。

时间复杂度：

如果数组的长度为 n，那么时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度：

需要哈希表存储数组所有元素，空间复杂度为 O(n)。

所以该算法空间复杂度不满足题目要求。

下面以 Golang 为例给出实现。

func firstMissingPositive(nums []int) int {
	m := make(map[int]struct{}, len(nums))
	for _, v := range nums {
		m[v] = struct{}{}
	}
	for p := 1; ; p++ {
		if _, ok := m[p]; !ok {
			return p
		}
	}
}

4.4 空间复杂度为 O(1) 的哈希表

题目要求空间复杂度需要 O(1)，所以不能使用额外的哈希表存储数组中的元素。

我们将目光放到数组本身。

实际上，对于一个长度为 n 的数组，其中没有出现的最小正整数只能在 [1,n+1] 中。我们可以利用数组本身，将数组中大于等于 1 小于等于 n 的正整数，在数组中打上标记。

打完标记后，遍历数组，如果下标 i 没有被打上标记，那么 i+1 就是数组中缺失的第一个正整数。

如果数组所有下标均被打上标记，那么 n+1 就是数组中缺失的第一个正整数。

如何给数组下标打上标记呢？

由于我们只在意 [1,n] 中的数，因此我们可以先对数组进行遍历，把不在 [1,n] 范围内的数修改成任意一个大于 n 的数（例如 n+1）。这样一来，数组中的所有数就都是正数了，因此我们就可以将「标记」表示为「负号」。

算法的流程如下：

• 我们将数组中所有小于等于 0 的数修改为 n+1。

• 我们遍历数组中的每一个数 x，它可能已经被打了标记，因此原本对应的数为 |x|，其中 || 为绝对值符号。如果 |x|∈[1,n]，那么我们给数组中的第 |x|−1 位置的数添加一个负号。注意如果它已经有负号，不需要重复添加。

• 在遍历完成之后，如果数组中的每一个数都是负数，那么答案是 n+1，否则答案是第一个正数的下标加 1。

时间复杂度：

三次遍历数组，第一次遍历将数组中所有非正数变成 n+1。第二次遍历给数组下标打标记。第三次遍历获取没有打标记的下标。所以时间复杂度是 O(n)，满足题目要求。

空间复杂度：

没有使用额外的存储空间，所以是 O(1)，满足题目要求。

下面以 Golang 为例给出实现。

func firstMissingPositive(nums []int) int {
	// 将数组中所有小于等于 000 的数修改为 n+1。
	for i, v := range nums {
		if v <= 0 {
			nums[i] = len(nums) + 1
		}
	}
	// 给数组下标打标记。
	for _, v := range nums {
		abs := int(math.Abs(float64(v)))
		if abs >= 1 && abs <= len(nums) {
			if nums[abs-1] > 0 {
				nums[abs-1] = -nums[abs-1]
			}
		}
	}
	// 遍历数组，寻找未打标记的下标。
	for i, v := range nums {
		if v > 0 {
			return i + 1
		}
	}
	return len(nums) + 1
}

4.5 置换

除了打标记以外，我们还可以使用置换的方法，将给定的数组「恢复」成下面的形式：

如果数组中包含 x∈[1,n]，那么恢复后，数组的第 x−1 个元素为 x。

在恢复后，数组应当有 [1, 2, …, n] 的形式，但其中有若干个位置上的数是错误的，每一个错误的位置就代表了一个缺失的正数。以题目中的示例二 [3, 4, -1, 1] 为例，恢复后的数组应当为 [1, -1, 3, 4]，我们就可以知道缺失的数为 2。

那么我们如何将数组进行恢复呢？我们可以对数组进行一次遍历，对于遍历到的数 x=nums[i]，如果 x∈[1,n]，我们需要将 x 放在数组中的 x−1 的位置，因此交换 nums[i] 和 nums[x−1]，这样 x 就出现在了正确的位置。

在完成交换后，新的 nums[i] 可能还在 [1,n] 的范围内，我们需要继续进行交换操作，直到 x∉[1,n]。

注意到上面的方法可能会陷入死循环。如果 nums[i] 恰好与 nums[x−1] 相等，那么就会无限交换下去。此时我们有 nums[i]=x=nums[x−1]，说明 x 已经出现在了正确的位置。因此我们可以跳出循环，开始遍历下一个数。

时间复杂度：

由于每次的交换操作都会使得某一个数交换到正确的位置，因此交换的次数最多为 n，整个方法的时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度：

没有使用额外的存储空间，所以是 O(1)。

下面以 Golang 为例给出实现。

func firstMissingPositive(nums []int) int {
	n := len(nums)

	for i := range nums {
		for nums[i] > 0 && nums[i] <= n && nums[i] == nums[nums[i]-1] {
			nums[i], nums[nums[i]-1] = nums[nums[i]-1], nums[i]
		}
	}

	for i, v := range nums {
		if v != i+1 {
			return i + 1
		}
	}
	return len(nums) + 1
}

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参考文献

41. 缺失的第一个正数 - LeetCode