径向基函数（Radial Basis Function）插值

曲面重构

当高维数据稀疏，需要预测一些数据，需要使用曲面重构的方法。 曲面重构一般可以分为：

• 插值
• 重构

曲面插值里我们一般使用径向基函数插值。

RBF (Radial Basis Function)可以看作是一个高维空间中的曲面拟合(逼近)问题，学习是为了在多维空间中寻找一个能够最佳匹配训练数据的曲面，然后来一批新的数据，用刚才训练的那个曲面来处理。

RBF是一系列精确插值方法的组合，即表面必须通过每一个测到的曲面值。

RBF网络能够逼近任意的非线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能力，并有很快的学习收敛速度，已成功应用于非线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。 简单说明一下为什么RBF网络学习收敛得比较快。当网络的一个或多个可调参数（权值或阈值）对任何一个输出都有影响时，这样的网络称为全局逼近网络。由于对于每次输入，网络上的每一个权值都要调整，从而导致全局逼近网络的学习速度很慢。BP网络就是一个典型的例子。 如果对于输入空间的某个局部区域只有少数几个连接权值影响输出，则该网络称为局部逼近网络。常见的局部逼近网络有RBF网络、小脑模型（CMAC）网络、B样条网络等。

将设RBF是非线性函数：
$$\varphi (r)=\varphi (|x-x_i|)$$

其参数依赖于n维空间的欧式范数：

∥ x ⃗ − x i → ∥ = ∑ m = 1 n ( x m − x i , m ) 2 \left\|\vec{x}-\overrightarrow{x_i}\right\|=\sqrt{\sum_{m=1}^n\left(x_m-x_{i, m}\right)^2} ​x −xi​ ​ ​=m=1∑n​(xm​−xi,m​)2 ​

RBF的常见函数形式可有以下几种：

• Gaussian: $\phi (r)=\exp \left(-\frac{r^2}{2{\sigma }^2}\right)$

• Muliquadrics : $\phi (r)=\sqrt{1+\frac{r^2}{{\sigma }^2}}$

• Linear: $\phi (r)=r$

• Cubic: $\phi (r)=r^3$

• Thinplate: $\phi (r)=r^2\ln (r+1)$

径向基函数的插值函数表达式例子：

$$f(x)=c_0+c_{1}x+{\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i\phi \left(\left|x-x_i\right|\right)$$

现在我们的目的是根据已知的N个数据，求出函数$f(x)$的系数 : $c_0,c_1,{\lambda }_i$，其中 $x_i$ 是已知的数据点集。

RBF的方法是要选择P个基函数，每个基函数对应一个训练数据，各基函数形式为，由于距离是径向同性的，因此称为径向基函数。

基于径向基函数的插值函数为：

$$f(x)=\sum _{P=1}^P{W}_P{\phi }_P\left(\Vert x-x_P\Vert \right)$$

而我们这里得到这些未知参数的方法主要是：最小二乘法，或者SVD 假设我们有N组数据集，以及对应的函数f(xi)的值，

这样由N组数据我们可以一个矩阵：A *B=Y 其中A是未知参数矩阵，B是数据集得到的值，Y是数据集对应的输出值， 我们可以用最小二乘法得到参数A的值。

原文链接：径向基函数（Radial Basis Function）插值