LeetCode287之寻找重复数(相关话题：二分查找,快慢指针)

题目描述

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums ，其数字都在 [1, n] 范围内（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。

假设 nums 只有 一个重复的整数 ，返回 这个重复的数 。

你设计的解决方案必须 不修改 数组 nums 且只用常量级 O(1) 的额外空间。

示例 1：

输入：nums = [1,3,4,2,2]
输出：2

示例 2：

输入：nums = [3,1,3,4,2]
输出：3

提示：

• 1 <= n <= 105
• nums.length == n + 1
• 1 <= nums[i] <= n
• nums 中 只有一个整数 出现 两次或多次 ，其余整数均只出现 一次

进阶：

• 如何证明 nums 中至少存在一个重复的数字?
• 你可以设计一个线性级时间复杂度 O(n) 的解决方案吗？

方法一：二分查找

实现思路：

依据什么属性查找？我们知道，一个数组在某个属性上有单调性，就可以进行二分查找（比如排序数组的数组值）。那升序的数组对于本题来说还有什么单调性呢。这个单调性就是: 数组的索引越大，数组值就越大，数组值越大，原数组中小于等于这个数组值的数就越多。 举个例子你就懂了:

在示例1中的原数组【1，3，4，2，2】：
<=1 的数有几个啊 1个
<=2 的数有几个啊 3个
<=3 的数有几个啊 4个
<=4 的数有几个啊 5个
所以你看，是不是一个数越大，原数组中小于等于这个数就越多，我们记这个属性为cnt,则现在我们知道，对于【1，2，3,...n-1】这个数组值升序数组来说，数组的cnt属性值也是升序的。

接下来看看我们的目标值target，它的cnt属性有什么特点呢。因为它在原数组中是重复的，那就说明一点：target的cnt属性值是大于target的。继续举例来看:

脱离本题来说，一定有:
小于等于2的正数有2个:(1,2)
小于等于3的正数有3个:(1,2,3)
小于等于num的正数有num个：(1,2,3,...num)
.......
而如果允许num本身重复的话，则<=num的数的个数一定是>num的。(1,2,...num,num,num...)
根据这个特点，去看我们说的cnt属性，就容易得到target的cnt属性值是>target的。

综上，我们得到如下结论:

若num是【1，n-1】中的一个数，target是原数组中的重复值，则:
if num if num>=target, num的cnt属性值>num

代码实现：

class Solution {
    public int findDuplicate(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int l = 1, r = n - 1, ans = -1;
        while (l <= r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            int cnt = 0;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                if (nums[i] <= mid) {
                    cnt++;
                }
            }
            if (cnt <= mid) {
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
                ans = mid;
            }
        }
        return ans;
    }
}

方法二：快慢指针

实现思路：

为什么后面将 slow 放置起点后移动相遇的点就一定是答案了。假设环长为 L，从起点到环的入口的步数是 a，从环的入口继续走 b 步到达相遇位置，从相遇位置继续走 c 步回到环的入口，则有 b+c=L，其中 L、a、b、c 都是正整数。根据上述定义，慢指针走了 a+b 步，快指针走了 2(a+b) 步。从另一个角度考虑，在相遇位置，快指针比慢指针多走了若干圈，因此快指针走的步数还可以表示成 a+b+kL，其中 k表示快指针在环上走的圈数。联立等式，可以得到2(a+b)=a+b+kL

解得 a= kL−ba  = kL−b 整理可得

a = (k−1)L+(L−b)=(k-1)L+c

代码实现： 

class Solution {
    public int findDuplicate(int[] nums) {
        int slow = 0, fast = 0;
        //第一次相遇在C点
        do {
            slow = nums[slow];
            fast = nums[nums[fast]];
        } while (slow != fast);
        slow = 0;
        //第二次相遇在B点
        while (slow != fast) {
            slow = nums[slow];
            fast = nums[fast];
        }
        return slow;
    }
}