母函数的一些小结

一下来源于:兔子算法集中营

http://www.cppblog.com/superKiki/archive/2010/10/31/131928.html

 

在数学中,某个序列的母函数是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。  

母函数可分为很多种,包括普通母函数指数母函数L级数贝尔级数狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。  


这里先给出两句话,不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看:  

“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”  

“母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “  


我们首先来看下这个多项式乘法:  

 母函数的一些小结_第1张图片

 

由此可以看出:  

 

1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。  

2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。  

………  

n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体(只有1个)。  

由此得到:  

母函数的一些小结_第2张图片  

母函数的定义:  

对于序列a0,a1,a2,…构造一函数:  


  

    

称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函数  


这里先给出2个例子,等会再结合题目分析:  

第一种:  

有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案?  

考虑用母函数来接吻这个问题:  

我们假设x表示砝码,x的指数表示砝码的重量,这样:  

1个1克的砝码可以用函数1+x表示,  

1个2克的砝码可以用函数1+x2表示,  

1个3克的砝码可以用函数1+x3表示,  

1个4克的砝码可以用函数1+x4表示,  

上面这四个式子懂吗?  

我们拿1+x2来说,前面已经说过,x表示砝码,x的指数表示重量,即这里就是一个质量为2的砝码,那么前面的1表示什么?1代表重量为2的砝码数量为0个。(理解!)  

不知道大家理解没,我们这里结合前面那句话:  

“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”  


1+x2表示了两种情况:1表示质量为2的砝码取0个的情况,x2表示质量为2的砝码取1个的情况。  

这里说下各项系数的意义:  

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个,而1就表示相应砝码取0个,这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何?结合数学式子)。  


所以,前面说的那句话的意义大家可以理解了吧?  

几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:  

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)  

=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)  

=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10    

从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。(!!!经典!!!)  

例如右端有2x5 项,即称出5克的方案有2:5=3+2=4+1;同样,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。  

故称出6克的方案有2,称出10克的方案有1 。  


接着上面,接下来是第二种情况:  

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:  

大家把这种情况和第一种比较有何区别?第一种每种是一个,而这里每种是无限的。  

  

以展开后的x4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4;  

即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2  

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数:  

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。  

整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数  


现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例,给出模板:  

  

#include  < iostream >
using   namespace  std;

const   int  _max  =   10001 ;
//  c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
//  c2是中间量,保存没一次的情况
int  c1[_max], c2[_max];
int  main()
{    
// int n,i,j,k;
     int  nNum;    //  
     int  i, j, k;

    
while (cin  >>  nNum)
    {
        
for (i = 0 ; i <= nNum;  ++ i)    //  ---- ①
        {
            c1[i] 
=   1 ;
            c2[i] 
=   0 ;
        }
        
for (i = 2 ; i <= nNum;  ++ i)    //  ----- ②
        {

            
for (j = 0 ; j <= nNum;  ++ j)    //  ----- ③
                 for (k = 0 ; k + j <= nNum; k += i)   //  ---- ④
                {
                    c2[j
+ k]  +=  c1[j];
                }
                
for (j = 0 ; j <= nNum;  ++ j)      //  ---- ⑤
                {
                    c1[j] 
=  c2[j];
                    c2[j] 
=   0 ;
                }
        }
        cout 
<<  c1[nNum]  <<  endl;
    }
    
return   0 ;
}

我们来解释下上面标志的各个地方:  

①  、首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化,把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.  


  

②  、 i从2到n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的第二种母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。  


  

③、j 从0到n遍历,这里j就是只一个表达式里第j个变量,比如在第二个表达式里:(1+x2+x4….)里,第j个就是x2*j.  

   

③  k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。  

   

④  、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的  

   


咱们赶快趁热打铁,来几道题目:  

(相应题目解析均在相应的代码里分析)  

1.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028  

#include<stdio.h>
#define nmax 121
int res[nmax], temp[nmax];
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
	int n, i, j, k;
	for (i = 0; i < nmax; i++) {
		res[i] = 1;
		temp[i] = 0;
	}
	for (i = 2; i < nmax; i++) {
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			for (k = 0; k + j < nmax; k += i) {
				temp[k + j] += res[j];
			}
		}
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			res[j] = temp[j];
			temp[j] = 0;
		}
	}
	while (scanf("%d", &n) != EOF) {
		printf("%d\n", res[n]);
	}
	return 0;
}

这题大家看看简单不?把上面的模板理解了,这题就是小Case!  

看看这题:  

2.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085  

#include<stdio.h>
#define nmax 1005+1005*2+1005*5+20
int res[nmax], temp[nmax];
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
	int i, j, k, te, num1, num2, num3;
	while (scanf("%d %d %d", &num1, &num2, &num3) != EOF && (num1 + num2 + num3)) {
		for (i = 0; i <= nmax; i++) {
			res[i] = 0, temp[i] = 0;
		}
		for (i = 0; i <= num1; i++) {
			res[i] = 1;
		}
		for (j = 0; j <= num1; j++) {
			for (k = 0; k <= num2 * 2; k += 2) {
				temp[k + j] += res[j];
			}
		}
		te = num1 + 2 * num2;
		for (j = 0; j <= te; j++) {
			res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
		}

		for (j = 0; j <= te; j++) {
			for (k = 0; k <= num3 * 5; k += 5) {
				temp[k + j] += res[j];
			}
		}
		te = te + num3 * 5;
		for (j = 0; j <= te; j++) {
			if (temp[j] == 0) {
				break;
			}
		}
		printf("%d\n", j);
	}
	return 0;
}

这题终于变化了一点,但是万变不离其中。  

大家好好分析下,结合代码就会懂了。  

3.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171  

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 250001
int V[nmax], M[nmax], res[nmax], temp[nmax];
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
	int N, i, j, k, te, Vs;
	while (scanf("%d", &N) != EOF && N > 0) {
		for (i = 0, Vs = 0; i < N; i++) {
			scanf("%d %d", V + i, M + i);
			Vs += V[i] * M[i];
		}
		te = Vs / 2;
		memset(res, 0, sizeof(res));
		memset(temp, 0, sizeof(temp));
		for (i = 0; i <= M[0]; i++) {
			res[i * V[0]] = 1;
		}
		for (i = 1; i < N; i++) {
			for (j = 0; j <= Vs; j++) {
				for (k = 0; k <= M[i] && (V[i] * k + j <= Vs); k++) {
					if (res[j] == 1) {
						temp[k * V[i] + j] = 1;
					}
				}
			}
			for (j = 0; j <= Vs; j++) {
				res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
			}
		}
		for (i = te; i >= 0; i--) {
			if (res[i] != 0) {
				break;
			}
		}
		printf("%d %d\n", Vs - i, i);
	}
	return 0;
}

4.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398  

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 301
#define nnum 18
int res[nmax], temp[nmax];
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);
	 */int n, i, j, k;
	for (i = 0; i < nmax; i++) {
		res[i] = 1;
		temp[i] = 0;
	}
	for (i = 2; i < nnum; i++) {
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			for (k = 0; k + j < nmax; k += i * i) {
				temp[k + j] += res[j];
			}
		}
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			res[j] = temp[j];
			temp[j] = 0;
		}
	}
	while (scanf("%d", &n) != EOF && n) {
		printf("%d\n", res[n]);
	}
	return 0;
}

要说和前一题的区别,就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时(可以参考我的资料—《母函数详解》),把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~  

5.题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1709

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define nmax 10005
#define nnum 101
int res[nmax], temp[nmax], w[nnum];
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
	int N, i, j, k, tw, rc, flag;
	while (scanf("%d", &N) != EOF) {
		for (i = 0, tw = 0; i < N; i++) {
			scanf("%d", w + i);
			tw += w[i];
		}
		memset(temp, 0, sizeof(temp));
		memset(res, 0, sizeof(res));
		for (i = 0; i < 2; i++) {
			res[i * w[0]] = 1;
		}
		for (i = 1; i < N; i++) {
			for (j = 0; j <= tw; j++) {
				for (k = 0; k < 2; k++) {
					if (res[j] && ((j + k * w[i]) <= tw)) {
						temp[j + k * w[i]] += res[j];
					}
					if (res[j] && (temp[abs(j - k * w[i])] == 0)
							&& (j != abs(j - k * w[i]))
							&& (abs(j - k * w[i]) <= tw)) {
						temp[abs(j - k * w[i])] += res[j];
					}
				}
			}
			for (j = 0; j <= tw; j++) {
				res[j] = temp[j];
				temp[j] = 0;
			}
		}
		for (j = 0, rc = 0; j <= tw; j++) {
			if (!res[j]) {
				rc++;
			}
		}
		printf("%d\n", rc);
		if (rc) {
			flag = 0;
			for (j = 0; j <= tw; j++) {
				if (!res[j]) {
					if (flag) {
						printf(" ");
					}
					flag = 1;
					printf("%d", j);
				}
			}
			printf("\n");
		}
	}
	return 0;
}

6.题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2069

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 251
#define nnum 101
#define kind 5
int res[nmax][nnum], temp[nmax][nnum], rres[nmax], a[kind] =
		{ 1, 5, 10, 25, 50 };
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
	int num, i, j, k, r;
	memset(res, 0, sizeof(res));
	memset(temp, 0, sizeof(temp));
	res[0][0] = 1;
	for (i = 0; i < kind; i++) {
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			for (k = 0; k * a[i] < nmax; k++) {
				for (r = 0; r + k < nnum; r++) {
					temp[j + k * a[i]][r + k] += res[j][r];
				}
			}
		}
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			for (r = 0; r < nnum; r++) {
				res[j][r] = temp[j][r], temp[j][r] = 0;
			}
		}
	}
	for (i = 0; i < nmax; i++) {
		for (j = 0, rres[i] = 0; j < nnum; j++) {
			rres[i] += res[i][j];
		}
	}
	while (scanf("%d", &num) != EOF) {
		printf("%d\n", rres[num]);
	}
	return 0;
}

7.题目http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2079

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 41
#define nnum 9
int res[nmax], temp[nmax], nscore[nnum], num[nnum];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
	int T, n, m, i, j, k;
	while (scanf("%d", &T) != EOF) {
		while (T--) {
			scanf("%d %d", &n, &m);
			for (i = 0; i < m; i++) {
				scanf("%d %d", nscore + i, num + i);
			}
			memset(temp, 0, sizeof(temp));
			memset(res, 0, sizeof(res));
			res[0] = 1;
			for (i = 0; i < m; i++) {
				for (j = 0; j < nmax; j++) {
					for (k = 0; k <= num[i] && (k * nscore[i] + j < nmax);
							k++) {
						temp[j + k * nscore[i]] += res[j];
					}
				}
				for (j = 0; j < nmax; j++) {
					res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
				}
			}
			printf("%d\n", res[n]);
		}
	}
	return 0;
}

8.题目http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2082

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 51
#define nnum 26
int res[nmax], temp[nmax], num[nnum];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
	int n, i, j, k;
	while (scanf("%d", &n) != EOF) {
		while (n--) {
			for (i = 1; i <= nnum; i++) {
				scanf("%d", i + num);
			}
			memset(res, 0, sizeof(res));
			memset(temp, 0, sizeof(temp));
			res[0] = 1;
			for (i = 1; i <= nnum; i++) {
				for (j = 0; j < nmax; j++) {
					for (k = 0; k <= num[i] && (j + k * i < nmax); k++) {
						temp[j + k * i] += res[j];
					}
				}
				for (j = 0; j < nmax; j++) {
					res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
				}
			}
			for (i = 0, j = 1; j < nmax; j++) {
				i += res[j];
			}
			printf("%d\n", i);
		}

	}
	return 0;
}

9.题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2110

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 10005
#define nnum 101
int res[nmax], temp[nmax];
int pi[nnum], mi[nnum];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
	int n, i, j, k, sum;
	while (scanf("%d", &n) != EOF && n) {
		for (sum = 0, i = 0; i < n; i++) {
			scanf("%d %d", pi + i, mi + i);
			sum += pi[i] * mi[i];
		}
		if (sum % 3) {
			printf("sorry\n");
			continue;
		}
		memset(res, 0, sizeof(res));
		memset(temp, 0, sizeof(temp));
		res[0] = 1;
		sum /= 3;
		for (i = 0; i < n; i++) {
			for (j = 0; j <= sum; j++) {
				for (k = 0; k <= mi[i] && (j + pi[i] * k <= sum); k++) {
					temp[j + pi[i] * k] += res[j];
				}
			}
			for (j = 0; j <= sum; j++) {
				res[j] = temp[j] % 10000, temp[j] = 0;
			}
		}
		if (res[sum]) {
			printf("%d\n", res[sum]);
		} else {
			printf("sorry\n");
		}
	}
	return 0;
}

10. 题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2152

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 101
int res[nmax], temp[nmax], minn[nmax], maxn[nmax];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
	int n, m, i, j, k;
	while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
		for (i = 0; i < n; i++) {
			scanf("%d %d", minn + i, maxn + i);
		}
		memset(temp, 0, sizeof(temp));
		memset(res, 0, sizeof(res));

		for (i = 0; i <= m; i++) {
			if (i >= minn[0] && i <= maxn[0]) {
				res[i] = 1;
			}
		}
		for (i = 1; i < n; i++) {
			for (j = 0; j <= m; j++) {
				for (k = minn[i]; k <= maxn[i] && (k + j <= m); k++) {
					temp[j + k] += res[j];
				}
			}
			for (j = 0; j <= m; j++) {
				res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
			}
		}
		printf("%d\n", res[m]);
	}
	return 0;
}


10.题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1521

/*
* hdu1521.c
*
* Created on: 2011-8-31
* Author: 王竹
*/

#include
<stdio.h>
#include
<string.h>
#define nmax 15
int num[nmax];
double res[nmax], fac[nmax], temp[nmax];
void init(int n) {
int i;
fac[
0] = 1;
for (i = 1; i <= n; i++) {
fac[i]
= fac[i - 1] * i;
}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen(
"data.in", "r", stdin);
#endif
int i, j, k, n, m;
while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
init(n);
for (i = 0; i < n; i++) {
scanf(
"%d", num + i);
}
memset(res,
0.0, sizeof(res));
memset(temp,
0.0, sizeof(res));
for (i = 0; i <= num[0]; i++) {
res[i]
= 1.0 / fac[i];
}
for (i = 1; i < n; i++) {
for (j = 0; j <= n; j++) {
for (k = 0; (k <= num[i]) && (k + j <= n); k++) {
temp[j
+ k] += res[j] / fac[k];
}
}
for (j = 0; j <= n; j++) {
res[j]
= temp[j], temp[j] = 0;
}
}
printf(
"%.0lf\n", res[m] * fac[m]);
}
return 0;
}

附:  

1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數:  

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0  

2.Matrix67大牛那有篇文章:什么是生成函数:  

http://www.matrix67.com/blog/archives/120  

3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇,我这里的图片以及一些内容都引至那。 

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