母函数的一些小结
一下来源于：兔子算法集中营
http://www.cppblog.com/superKiki/archive/2010/10/31/131928.html
在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：
“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”
“母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “
我们首先来看下这个多项式乘法：
由此可以看出:
1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。
2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………
n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
由此得到：
母函数的定义：
对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数
这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：
第一种：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来接吻这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，
上面这四个式子懂吗？
我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）
不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：
“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”
1+x2表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x2表示质量为2的砝码取1个的情况。
这里说下各项系数的意义：
在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何？结合数学式子)。
所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 。
接着上面，接下来是第二种情况：
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。
现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：
using namespace std;
const int _max = 10001 ;
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存没一次的情况
int c1[_max], c2[_max];
int main()
{ // int n,i,j,k;
int nNum; //
int i, j, k;
while (cin >> nNum)
{
for (i = 0 ; i <= nNum; ++ i) // ---- ①
{
c1[i] = 1 ;
c2[i] = 0 ;
}
for (i = 2 ; i <= nNum; ++ i) // ----- ②
{
for (j = 0 ; j <= nNum; ++ j) // ----- ③
for (k = 0 ; k + j <= nNum; k += i) // ---- ④
{
c2[j + k] += c1[j];
}
for (j = 0 ; j <= nNum; ++ j) // ---- ⑤
{
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0 ;
}
}
cout << c1[nNum] << endl;
}
return 0 ;
}
我们来解释下上面标志的各个地方：
① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
③、j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x2+x4….)里，第j个就是x2*j.
③ k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
④ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的
咱们赶快趁热打铁，来几道题目：
（相应题目解析均在相应的代码里分析）
1. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
#include<stdio.h>
#define nmax 121
int res[nmax], temp[nmax];
int main() {
/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
int n, i, j, k;
for (i = 0; i < nmax; i++) {
res[i] = 1;
temp[i] = 0;
}
for (i = 2; i < nmax; i++) {
for (j = 0; j < nmax; j++) {
for (k = 0; k + j < nmax; k += i) {
temp[k + j] += res[j];
}
}
for (j = 0; j < nmax; j++) {
res[j] = temp[j];
temp[j] = 0;
}
}
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
printf("%d\n", res[n]);
}
return 0;
}
这题大家看看简单不？把上面的模板理解了，这题就是小Case!
看看这题：
2. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
#include<stdio.h>
#define nmax 1005+1005*2+1005*5+20
int res[nmax], temp[nmax];
int main() {
/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
int i, j, k, te, num1, num2, num3;
while (scanf("%d %d %d", &num1, &num2, &num3) != EOF && (num1 + num2 + num3)) {
for (i = 0; i <= nmax; i++) {
res[i] = 0, temp[i] = 0;
}
for (i = 0; i <= num1; i++) {
res[i] = 1;
}
for (j = 0; j <= num1; j++) {
for (k = 0; k <= num2 * 2; k += 2) {
temp[k + j] += res[j];
}
}
te = num1 + 2 * num2;
for (j = 0; j <= te; j++) {
res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
}
for (j = 0; j <= te; j++) {
for (k = 0; k <= num3 * 5; k += 5) {
temp[k + j] += res[j];
}
}
te = te + num3 * 5;
for (j = 0; j <= te; j++) {
if (temp[j] == 0) {
break;
}
}
printf("%d\n", j);
}
return 0;
}
这题终于变化了一点，但是万变不离其中。
大家好好分析下，结合代码就会懂了。
3. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 250001
int V[nmax], M[nmax], res[nmax], temp[nmax];
int main() {
/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
int N, i, j, k, te, Vs;
while (scanf("%d", &N) != EOF && N > 0) {
for (i = 0, Vs = 0; i < N; i++) {
scanf("%d %d", V + i, M + i);
Vs += V[i] * M[i];
}
te = Vs / 2;
memset(res, 0, sizeof(res));
memset(temp, 0, sizeof(temp));
for (i = 0; i <= M[0]; i++) {
res[i * V[0]] = 1;
}
for (i = 1; i < N; i++) {
for (j = 0; j <= Vs; j++) {
for (k = 0; k <= M[i] && (V[i] * k + j <= Vs); k++) {
if (res[j] == 1) {
temp[k * V[i] + j] = 1;
}
}
}
for (j = 0; j <= Vs; j++) {
res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
}
}
for (i = te; i >= 0; i--) {
if (res[i] != 0) {
break;
}
}
printf("%d %d\n", Vs - i, i);
}
return 0;
}
4. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 301
#define nnum 18
int res[nmax], temp[nmax];
int main() {
/*freopen("t.txt", "r", stdin);
*/int n, i, j, k;
for (i = 0; i < nmax; i++) {
res[i] = 1;
temp[i] = 0;
}
for (i = 2; i < nnum; i++) {
for (j = 0; j < nmax; j++) {
for (k = 0; k + j < nmax; k += i * i) {
temp[k + j] += res[j];
}
}
for (j = 0; j < nmax; j++) {
res[j] = temp[j];
temp[j] = 0;
}
}
while (scanf("%d", &n) != EOF && n) {
printf("%d\n", res[n]);
}
return 0;
}
要说和前一题的区别，就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时（可以参考我的资料—《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~
5.题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1709
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define nmax 10005
#define nnum 101
int res[nmax], temp[nmax], w[nnum];
int main() {
/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
int N, i, j, k, tw, rc, flag;
while (scanf("%d", &N) != EOF) {
for (i = 0, tw = 0; i < N; i++) {
scanf("%d", w + i);
tw += w[i];
}
memset(temp, 0, sizeof(temp));
memset(res, 0, sizeof(res));
for (i = 0; i < 2; i++) {
res[i * w[0]] = 1;
}
for (i = 1; i < N; i++) {
for (j = 0; j <= tw; j++) {
for (k = 0; k < 2; k++) {
if (res[j] && ((j + k * w[i]) <= tw)) {
temp[j + k * w[i]] += res[j];
}
if (res[j] && (temp[abs(j - k * w[i])] == 0)
&& (j != abs(j - k * w[i]))
&& (abs(j - k * w[i]) <= tw)) {
temp[abs(j - k * w[i])] += res[j];
}
}
}
for (j = 0; j <= tw; j++) {
res[j] = temp[j];
temp[j] = 0;
}
}
for (j = 0, rc = 0; j <= tw; j++) {
if (!res[j]) {
rc++;
}
}
printf("%d\n", rc);
if (rc) {
flag = 0;
for (j = 0; j <= tw; j++) {
if (!res[j]) {
if (flag) {
printf(" ");
}
flag = 1;
printf("%d", j);
}
}
printf("\n");
}
}
return 0;
}
6.题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2069
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 251
#define nnum 101
#define kind 5
int res[nmax][nnum], temp[nmax][nnum], rres[nmax], a[kind] =
{ 1, 5, 10, 25, 50 };
int main() {
/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
int num, i, j, k, r;
memset(res, 0, sizeof(res));
memset(temp, 0, sizeof(temp));
res[0][0] = 1;
for (i = 0; i < kind; i++) {
for (j = 0; j < nmax; j++) {
for (k = 0; k * a[i] < nmax; k++) {
for (r = 0; r + k < nnum; r++) {
temp[j + k * a[i]][r + k] += res[j][r];
}
}
}
for (j = 0; j < nmax; j++) {
for (r = 0; r < nnum; r++) {
res[j][r] = temp[j][r], temp[j][r] = 0;
}
}
}
for (i = 0; i < nmax; i++) {
for (j = 0, rres[i] = 0; j < nnum; j++) {
rres[i] += res[i][j];
}
}
while (scanf("%d", &num) != EOF) {
printf("%d\n", rres[num]);
}
return 0;
}
7.题目http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2079
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 41
#define nnum 9
int res[nmax], temp[nmax], nscore[nnum], num[nnum];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
int T, n, m, i, j, k;
while (scanf("%d", &T) != EOF) {
while (T--) {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (i = 0; i < m; i++) {
scanf("%d %d", nscore + i, num + i);
}
memset(temp, 0, sizeof(temp));
memset(res, 0, sizeof(res));
res[0] = 1;
for (i = 0; i < m; i++) {
for (j = 0; j < nmax; j++) {
for (k = 0; k <= num[i] && (k * nscore[i] + j < nmax);
k++) {
temp[j + k * nscore[i]] += res[j];
}
}
for (j = 0; j < nmax; j++) {
res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
}
}
printf("%d\n", res[n]);
}
}
return 0;
}
8.题目http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2082
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 51
#define nnum 26
int res[nmax], temp[nmax], num[nnum];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
int n, i, j, k;
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
while (n--) {
for (i = 1; i <= nnum; i++) {
scanf("%d", i + num);
}
memset(res, 0, sizeof(res));
memset(temp, 0, sizeof(temp));
res[0] = 1;
for (i = 1; i <= nnum; i++) {
for (j = 0; j < nmax; j++) {
for (k = 0; k <= num[i] && (j + k * i < nmax); k++) {
temp[j + k * i] += res[j];
}
}
for (j = 0; j < nmax; j++) {
res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
}
}
for (i = 0, j = 1; j < nmax; j++) {
i += res[j];
}
printf("%d\n", i);
}
}
return 0;
}
9.题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2110
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 10005
#define nnum 101
int res[nmax], temp[nmax];
int pi[nnum], mi[nnum];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
int n, i, j, k, sum;
while (scanf("%d", &n) != EOF && n) {
for (sum = 0, i = 0; i < n; i++) {
scanf("%d %d", pi + i, mi + i);
sum += pi[i] * mi[i];
}
if (sum % 3) {
printf("sorry\n");
continue;
}
memset(res, 0, sizeof(res));
memset(temp, 0, sizeof(temp));
res[0] = 1;
sum /= 3;
for (i = 0; i < n; i++) {
for (j = 0; j <= sum; j++) {
for (k = 0; k <= mi[i] && (j + pi[i] * k <= sum); k++) {
temp[j + pi[i] * k] += res[j];
}
}
for (j = 0; j <= sum; j++) {
res[j] = temp[j] % 10000, temp[j] = 0;
}
}
if (res[sum]) {
printf("%d\n", res[sum]);
} else {
printf("sorry\n");
}
}
return 0;
}
10. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2152
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 101
int res[nmax], temp[nmax], minn[nmax], maxn[nmax];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
int n, m, i, j, k;
while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
for (i = 0; i < n; i++) {
scanf("%d %d", minn + i, maxn + i);
}
memset(temp, 0, sizeof(temp));
memset(res, 0, sizeof(res));
for (i = 0; i <= m; i++) {
if (i >= minn[0] && i <= maxn[0]) {
res[i] = 1;
}
}
for (i = 1; i < n; i++) {
for (j = 0; j <= m; j++) {
for (k = minn[i]; k <= maxn[i] && (k + j <= m); k++) {
temp[j + k] += res[j];
}
}
for (j = 0; j <= m; j++) {
res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
}
}
printf("%d\n", res[m]);
}
return 0;
}
10.题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1521
/*
* hdu1521.c
*
* Created on: 2011-8-31
* Author: 王竹
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 15
int num[nmax];
double res[nmax], fac[nmax], temp[nmax];
void init(int n) {
int i;
fac[0] = 1;
for (i = 1; i <= n; i++) {
fac[i] = fac[i - 1] * i;
}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
int i, j, k, n, m;
while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
init(n);
for (i = 0; i < n; i++) {
scanf("%d", num + i);
}
memset(res, 0.0, sizeof(res));
memset(temp, 0.0, sizeof(res));
for (i = 0; i <= num[0]; i++) {
res[i] = 1.0 / fac[i];
}
for (i = 1; i < n; i++) {
for (j = 0; j <= n; j++) {
for (k = 0; (k <= num[i]) && (k + j <= n); k++) {
temp[j + k] += res[j] / fac[k];
}
}
for (j = 0; j <= n; j++) {
res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
}
}
printf("%.0lf\n", res[m] * fac[m]);
}
return 0;
}
附：
1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0
2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函数：
http://www.matrix67.com/blog/archives/120
3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇，我这里的图片以及一些内容都引至那。