概率基础2：期望、方差和正态分布

这是概率基础的第二篇，说说期望、方差，正太分布。

1、期望

数学含义：就是平均值。

计算公式：E(x)=P1X1+P2X2+···PnXn

例子：掷骰子点数的期望是多少？

1*(1/6)+2*(1/6)+3*(1/6)+4*(1/6)+5*(1/6)+6*(1/6)=3.5

一场赌局，赢的收益是100元，概率是50%，输的损失是80元，概率是50%。应不应该参与？

很简单算一下期望：E=100*50% - 80*50%=10元。可以参与。

要让期望为正，或者变大，就要提高成功的收益和概率，降低失败的损失和概率。

怎么做呢？举几个案例。

微博经常有转发抽奖，这个从概率来说也没问题，因为没有损失，期望肯定为正。但是很多人转发了很多，却从来没中过奖。但是英国一位女士参加各种活动的总价值已经超过30万英镑，平均每年1.5万英镑，合人民币超过13万。怎么做的呢？

还是有方法的，她每个星期参加400次抽奖，但是她喜欢转发抽奖那类，因为太简单，参与人数太多，概率很低。她喜欢有答题之类需要花时间的，参与人就少，中奖概率就高很多。

一个明显通过概率系统赚钱的就是赌场了。古时候的赌场买大小，概率本来是一样的，但是有一个大小通吃，赌场的概率就更大了，期望变成了正，长期下去一定赚钱。

现代的赌场，虽然看上去概率相等，但是会抽成，比如赢的钱的2%做为赌场的抽成。对赌徒来说，反正输了不用抽成，赢了只有抽2%，好像很划算。但是就是这2%，赌场的期望就变成正的了，长期下来一定赚钱，赌徒一定数钱。赌徒想靠运气赢庄家的钱，但是庄家靠的是概率，从赌徒进场的那一刻起，输赢就已经注定了。

同样的，炒股炒币的交易所。其实从短期来看，交易所就有赌场的性质，因为交易所收交易手续费，就有点类似赌场的抽成，还是不管输赢都抽成，而且没有输的可能，更狠。

2、方差

数学含义：离散程度，波动，风险。

计算公式：D(x)=[（X1-X）^2]*P1+[（X2-X）^2]*P2+···

例子：掷骰子点数的方差是多少？

(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+···(6-3.5)^2=8.75*(1/3)

有的时候，只有期望是不够的。

比如上面的例子，一场赌局，赢的收益是100元，概率是50%，输的损失是80元，概率是50%。这场赌局参不参与？我们根据期望为正，得出结论要参与，我想你也愿意参与。

但是，如果把原来的问题加一个字，赢的收益是100万元，输的损失是80万元。你还愿意参与吗？这时候你可能就得考虑一下了。为什么？因为风险不一样了。

不同的人，风险承受能力是不一样的。对于有的人来说，100万和100元都是能承受的损失，那么按照期望决策的可能性就更高，但是如果一个人存款也就40万，还准备用来买房，那么风险无法承受，买的可能性就不大。

方差，描述的就是波动，或者说风险的大小。期望是10万元，不等于一定能赚10万元，也需要考虑风险的大小。

3、正态分布

生活中主要有两种分布，正态分布和幂律分布。

生活中绝大多数受随机因素综合影响的事，都符合正态分布。比如，智商、相貌。

还有一种是幂律分布，比如人的财富，城市的大小。这是因为这些不是独立重复事件，而是分布概型，前面的结果会对后面产生影响。因为受复利效应的影响，最终结果会呈现幂律分布。

对于正态分布，相信大家都有一个概念，就是一个钟形曲线，其实知道这个就够了。如果要更进一步，只需要知道正太分布由两个变量决定。一个是期望μ（平均值），一个是标准差σ（方差开根号，读作西格玛）。

期望就是中间线的位置，标准差表示钟形曲线的宽度，标准差越大，宽度越大，波动就越大。