华为机试：HJ70 矩阵乘法计算量估算

描述

矩阵乘法的运算量与矩阵乘法的顺序强相关。
例如：

A是一个50×10的矩阵，B是10×20的矩阵，C是20×5的矩阵

计算A*B*C有两种顺序：((AB)C)或者(A(BC))，前者需要计算15000次乘法，后者只需要3500次。

编写程序计算不同的计算顺序需要进行的乘法次数。

数据范围：矩阵个数： 1≤n≤15 ，行列数： 1≤rowi​,coli​≤100 ，保证给出的字符串表示的计算顺序唯一。

进阶：时间复杂度：O(n) ，空间复杂度：O(n) 

输入描述：

输入多行，先输入要计算乘法的矩阵个数n，每个矩阵的行数，列数，总共2n的数，最后输入要计算的法则
计算的法则为一个字符串，仅由左右括号和大写字母（'A'~'Z'）组成，保证括号是匹配的且输入合法！

输出描述：

输出需要进行的乘法次数

示例1

输入：

3
50 10
10 20
20 5
(A(BC))

输出：

3500

这道题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个二维数组 dp[i][j]，表示从第 i 个矩阵到第 j 个矩阵的最小乘法次数。根据题目要求，我们需要计算从第一个矩阵到最后一个矩阵的最小乘法次数。

我们可以使用递推公式来计算 dp[i][j]，即：

dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k][j] + cost[i][k] * cost[k][j])，其中 i < k < j

其中，cost[i][j] 表示从第 i 个矩阵乘以第 j 个矩阵的乘法次数，即 cost[i][j] = row[i] * col[i] * col[j]。

最后，我们只需要返回 dp[1][n] 即可。

以下是完整的 Java 代码实现：

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int[][] cost = new int[n + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cost[i][i] = 0;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int row = scanner.nextInt();
            int col = scanner.nextInt();
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                int nextRow = scanner.nextInt();
                int nextCol = scanner.nextInt();
                cost[i][j] = row * nextCol;
                col = nextCol;
                row = nextRow;
            }
        }
        String expression = scanner.next();
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][i] = 0;
        }
        for (int len = 2; len <= n; len++) {
            for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++) {
                int j = i + len - 1;
                dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                for (int k = i; k < j; k++) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + cost[i][k] * cost[k][j]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[1][n]);
    }
}

注意，这个实现只是一个简单的动态规划实现，并不是最优解。在实际应用中，我们可能需要使用更高效的算法，如分治算法等。