7.2 梯度下降和随机梯度下降
在本节中，我们将介绍梯度下降（gradient descent）的工作原理。虽然梯度下降在深度学习中很少被直接使用，但理解梯度的意义以及沿着梯度反方向更新自变量可能降低目标函数值的原因是学习后续优化算法的基础。随后，我们将引出随机梯度下降（stochastic gradient descent）。
7.2.1 一维梯度下降
image.png
%matplotlib inline
import numpy as np
import torch
import math
import sys
sys.path.append("..")
import d2lzh_pytorch as d2l
image.png
def gd(eta):
x = 10
results = [x]
for i in range(10):
x -= eta * 2 * x # f(x) = x * x的导数为f'(x) = 2 * x
results.append(x)
print('epoch 10, x:', x)
return results
res = gd(0.2)
输出：
epoch 10, x: 0.06046617599999997
image.png
def show_trace(res):
n = max(abs(min(res)), abs(max(res)), 10)
f_line = np.arange(-n, n, 0.1)
d2l.set_figsize()
d2l.plt.plot(f_line, [x * x for x in f_line])
d2l.plt.plot(res, [x * x for x in res], '-o')
d2l.plt.xlabel('x')
d2l.plt.ylabel('f(x)')
show_trace(res)
image.png
7.2.2 学习率
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show_trace(gd(0.05))
输出：
epoch 10, x: 3.4867844009999995
image.png
image.png
show_trace(gd(1.1))
输出：
epoch 10, x: 61.917364224000096
image.png
7.2.3 多维梯度下降
image.png
image.png
def train_2d(trainer): # 本函数将保存在d2lzh_pytorch包中方便以后使用
x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0 # s1和s2是自变量状态，本章后续几节会使用
results = [(x1, x2)]
for i in range(20):
x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)
results.append((x1, x2))
print('epoch %d, x1 %f, x2 %f' % (i + 1, x1, x2))
return results
def show_trace_2d(f, results): # 本函数将保存在d2lzh_pytorch包中方便以后使用
d2l.plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')
x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(-5.5, 1.0, 0.1), np.arange(-3.0, 1.0, 0.1))
d2l.plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')
d2l.plt.xlabel('x1')
d2l.plt.ylabel('x2')
image.png
eta = 0.1
def f_2d(x1, x2): # 目标函数
return x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
def gd_2d(x1, x2, s1, s2):
return (x1 - eta * 2 * x1, x2 - eta * 4 * x2, 0, 0)
show_trace_2d(f_2d, train_2d(gd_2d))
输出：
epoch 20, x1 -0.057646, x2 -0.000073
image.png
7.2.4 随机梯度下降
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def sgd_2d(x1, x2, s1, s2):
return (x1 - eta * (2 * x1 + np.random.normal(0.1)),
x2 - eta * (4 * x2 + np.random.normal(0.1)), 0, 0)
show_trace_2d(f_2d, train_2d(sgd_2d))
输出：
epoch 20, x1 -0.047150, x2 -0.075628
image.png
可以看到，随机梯度下降中自变量的迭代轨迹相对于梯度下降中的来说更为曲折。这是由于实验所添加的噪声使模拟的随机梯度的准确度下降。在实际中，这些噪声通常指训练数据集中的无意义的干扰。
小结
- 使用适当的学习率，沿着梯度反方向更新自变量可能降低目标函数值。梯度下降重复这一更新过程直到得到满足要求的解。
- 学习率过大或过小都有问题。一个合适的学习率通常是需要通过多次实验找到的。
- 当训练数据集的样本较多时，梯度下降每次迭代的计算开销较大，因而随机梯度下降通常更受青睐。
参考文献
[1] Stewart, J. (2010). Calculus: early transcendentals. 7th ed. Cengage Learning.
注：本节与原书基本相同，原书传送门