C++知识点总结(11)：质因子分解

一、质数和合数

质数

如果一个数除了 $1$ 和本身，没有其他的因数，就是质数。

合数

如果一个数除了 $1$ 和本身，还有其他的因数，就是合数。

小贴士

$1$ 是一个例外，既不是质数，也不是合数。

二、求质数程序

#include 
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    bool flag = true; // 默认 n 是质数
    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
    {
        if (n % i == 0) // 如果 n 能整除 i 
        {
            flag = false; // 标注 n 不是质数
            break; // 跳出循环，因为已经知道 n 不是质数了
        }
    }
}

三、分解质因数

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

有一种快速的分解质因数的方法，叫做短除法。简单来说，短除法就是不断地用最小的质因数除以它本身。

步骤	公式
1	$$100÷2=50$$
2	$$50÷2=25$$
3	$$25÷5=5$$
4	$$5÷5=1$$

1. 初步推导

#include 
using namespace std;

int main()
{
	// 输入 
	int n;
	cin >> n;
	
	// 分解质因数
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		while (n % i == 0)
		{
			cout << i << " ";
			n /= i;
		}
	}
	return 0;
}

程序问题：运行超时。

2. 完善(1)

#include 
#include 
using namespace std;

int main()
{
	// 输入 
	int n;
	cin >> n;
	
	// 分解质因数
	for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
	{
		while (n % i == 0)
		{
			cout << i << " ";
			n /= i;
		}
	}
	return 0;
}

程序问题：未遍历到 $n$ 本身，然而在 $n$ 是质数的情况下， $n$ 这个数字本身也是 $n$ 的质因数。

3. 完善(2)

#include 
#include 
using namespace std;

int main()
{
	// 输入 
	int n;
	cin >> n;
	
	// 分解质因数
	for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
	{
		while (n % i == 0)
		{
			cout << i << " ";
			n /= i;
		}
	}
	
	// 特例
	cout << n;
	return 0;
}

程序问题： $n$ 有可能是 $1$ ，然而 $1$ 是一个例外，既不是质数，也不是合数。

4. 最终代码

#include 
#include 
using namespace std;

int main()
{
	// 输入 
	int n;
	cin >> n;
	
	// 分解质因数
	for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
	{
		while (n % i == 0)
		{
			cout << i << " ";
			n /= i;
		}
	}
	
	// 特例
	if (n > 1)
	{
		cout << n;
	}
	return 0;
}

四、因数个数

由于输入的数字可能会超过 $long$ $long$ 的上限，为了保证万无一失，我们来找一找因数和质因数之间的关系。

以 $100$ 举个例子。

因数	等价于
$$1$$	$$2^0\times 5^0$$
$$2$$	$$2^1\times 5^0$$
$$4$$	$$2^2\times 5^0$$
$$5$$	$$2^0\times 5^1$$
$$10$$	$$2^1\times 5^1$$
$$20$$	$$2^2\times 5^1$$
$$25$$	$$2^0\times 5^2$$
$$50$$	$$2^1\times 5^2$$
$$100$$	$$2^2\times 5^2$$

这样，我们写出代码：

#include 
#include 
using namespace std;

int main()
{
	// 输入 
	long long n;
	cin >> n;
	
	// 分解质因数
	long long cnt;
	long long ans = 1; // 最终所有因数的个数 
	for (long long i = 2; i <= sqrt(n); i++)
	{
		cnt = 0;
		while (n % i == 0)
		{
			cnt++;
			n /= i;
		}
		ans *= (cnt+1); 
	}
	
	// 特例
	if (n > 1)
	{
		ans *= 2;
	}
	
	// 输出
	cout << ans; 
	return 0;
}

五、数字游戏

题目描述

小明现在在进行一个数字游戏。在游戏中，给定一个初始数，可以对数字做以下两种操作任意次：
1、将数乘上任意一个非 $0$ 正整数。
2、如果这个数是一个完全平方数，给它开根号。
现在小明想知道，在经过一系列操作以后，这个数最小可以变成多少？

输入描述

输入共一行，包含一个整数 $n$ （$2\le n\le 5\times 10^8$），表示初始数。

输出描述

输出一个整数，表示游戏过程中数最小可以变成多少。

样例1

输入

100

输出

10

样例解释

直接将100开根号，可以得到10。

参考代码

#include 
#include 
using namespace std;

int main()
{
	// 输入 
	int n;
	cin >> n;
	
	// 分解质因数
	int ans = 1;
	for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
	{
		if (n % i == 0) // n 是质因数的时候
		{
			ans *= i;
		}
		while (n % i == 0)
		{
			n /= i;
		}
	}
	
	// 特例
	if (n > 1)
	{
		ans *= n; // n 是一个新的质因数 
	}
	return 0;
}

代码思路：

1. 输入一个整数n
2. 通过一个for循环从2开始遍历到sqrt(n)，如果n可以被i整除，则表明i是n的一个质因数，将其乘到ans中
3. 通过一个while循环将n不断除以i，直到不能整除为止
4. 如果n大于1，则说明剩下的n是一个新的质因数，将其乘到ans中。

六、数组游戏Ⅱ

题目描述

小明现在在进行一个数字游戏。在游戏中，给定一个初始数n，可以对数做以下操作任意次：
1、选择一个形如 $x=p^k$ 且是该数是 $n$ 的因数，其中 $p$ 是一个质数，$k\ge 1$，将 $n÷x$ 。
2、每次选取的数需要互不相同。
现在小明想知道，最多可以进行多少次这样的操作呢？

输入描述

输入共一行，包含一个整数 $n$ （$2\le n\le 5\times 10^7$），表示初始数。

输出描述

输出一个整数，表示游戏过程中最多可以进行多少次操作。

样例1

输入

500

输出

3

样例解释

可以将 $500$ 先除以 $5$ ，再除以 $25$ ，再除以 $2$ ，共执行 $3$ 次。

参考代码

#include 
#include 
using namespace std;

int main()
{
	// 输入 
	int n;
	cin >> n;
	
	// 分解质因数
	int cnt;
	int k;
	int ans = 0;
	for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
	{
		cnt = 0;
		k = 1;
		while (n % i == 0)
		{
			cnt++;
			n /= i;
		}
		while (k <= cnt)
		{
			cnt -= k;
			k++;
		}
		ans += (k-1);
	}
	
	// 特例
	if (n > 1)
	{
		ans += 1;
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

代码详解

行数	功能
8~9	输入一个整数 $n$
12	$cnt$ 用来记录当前质因数的个数
13	$k$ 用来记录操作次数
14	$ans$ 用来记录总操作次数
15	通过一个 $for$ 循环从 $2$ 开始遍历到 $sqrt(n)$
17	通过一个 $while$ 循环将 $n$ 不断除以 $i$ ，直到不能整除为止
19~23	记录下除以 $i$ 的次数，并累加到 $cnt$ 中
24	通过另一个 $while$ 循环
26~27	从 $1$ 到 $cnt$ 遍历，每次将 $k$ 累加，并将 $cnt$ 减去k，直到 $cnt$ 小于等于 $0$ 为止
29	将最大操作次数加到 $ans$ 中（ $k-1$ 就是当前质因数可以进行的最大操作次数）
33~36	如果 $n>1$，则说明剩下的 $n$ 是一个新的质因数，将操作次数 $+1$
37	$ans$ 即游戏过程中最多可以进行的操作次数