信号与系统01

本文主要介绍信号与系统

1. 连续时间和离散时间信号

1.1 举例与数学表示

研究以时间作为自变量的信号，可分为两类: 离散时间信号 $x[n]$ 和连续时间信号 $x(t)$

一个离散时间信号 $x[n]$ 可以表示一个其自变量变化本来就是离散的现象。另一方面，有些很重要的离散时间信号则是通过对连续时间信号的采样而得到的。

1.2 信号能量与功率

在很多应用中，所考虑的信号是直接与在某一物理系统中具有功率和能量的一些物理量有关。

通过考察电阻瞬时功率 $p(t)=v(t)i(t)=\frac{1}{R}{v}^2(t)$ ，对任何连续时间信号 $x(t)$ 或离散时间信号 $x[n]$ 采用类似的功率和能量的术语。这时在 $t_1⩽t⩽t_2$ 内的总能量对于一个连续时间信号 $x(t)$ 来说就定义为

$${\int }_{t_1}^{t_2}|x(t){|}^{2}dt$$

这里 $|x|$ 记作 $x$ （可能为复数）的模。其平均功率除以 $t_2-t_1$ 就可得到。

相类似，在 $n_1⩽t⩽n_2$ 内的离散时间信号 $x[n]$ 的总能量就是

$$\sum _{n=n_1}^{n_2}|x[n]{|}^2$$

将其除以 $n_2-n_1+1$ 就可以得到该区间内的平均功率。

当我们关心无穷区间内信号的能量和功率时，上述式子可写为

$$E_{\infty }\stackrel{\Delta }{=}\underset{T\to \infty }{\lim }={\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^{2}dt$$

$$E_{\infty }\stackrel{\Delta }{=}\underset{N\to \infty }{\lim }=\sum _{n=-N}^{+N}|x[n]{|}^2=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x[n]{|}^2$$

注意，对某些信号的积分或求和可能不收敛，譬如若 $x(t)$ 或 $x[n]$ 在全部时间内都为某一非零的常数值就是这样。这样的信号具有无限的能量，而 $E_{\infty }<\infty$ 的信号具有有限的能量。

关于在无限区间内的平均功率，分别定义为

$$P_{\infty }\stackrel{\Delta }{=}\underset{T\to \infty }{\lim }=\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt$$

$$E_{\infty }\stackrel{\Delta }{=}\underset{N\to \infty }{\lim }=\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^{+N}|x[n]{|}^2$$

利用这些定义就可区分三种重要的信号:

1. 信号具有有限总能量，即 $E_{\infty }<\infty$
   这种信号的平均功率必须为零，因为$E_{\infty }<\infty$，这时显然 $P_{\infty }={\lim }_{T\to \infty }\frac{E_{\infty }}{2T}=0$。一个典型的例子是信号在 $0⩽t⩽1$ 内其值为 $1$, 而在此之外为 $0$，这时 $E_{\infty }=1,P_{\infty }=0$
2. 平均功率 $P_{\infty }$ 有限的信号
   显然，如果 $P_{\infty }>0$ 就必然有 $E_{\infty }=\infty$。例如常数信号 $x[n]=4$ 就具有无限能量，但平均功率 $P_{\infty }=16$
3. $P_{\infty }$ 和 $E_{\infty }$ 都不是有限的

2. 自变量的变换

2.1 自变量变换举例

本节只涉及自变量简单的变换，也就说时间轴的变换。

对于某一个已知信号 $x(t)$，通过自变量变换以求得一个形式如 $x(\alpha t+\beta )$ 的信号。这样一种由自变量变换所得到的信号除了有一个线性的扩展（若 $|a|<1$）或压缩 ($|a|>1$)，时间上的反转（$a<0$）及移位（$\beta \ne 0$）外，仍旧保持有 $x(t)$ 的形状。

例如对信号 $x(t)$ 进行如下变换

1. 时移， $x(t-t_o)$ 可理解为将信号 $x(t)$ 延迟 $t_0$ 到达
2. 时间反转，以 $t=0$ 轴反转 $x[-t]$ 可理解为将信号 $x(t)$ 的倒放
3. 尺度变换， $x(2t)$ 可理解为将信号两倍速播放

2.2 周期信号

一个连续时间的周期信号 $x(t)$ 具有这样的性质，即存在一个正值 $T$，对全部 $t$ 来说，有

$$x(t)=x(t+T)\text{\hspace{1em}(2.2.1)}$$

换句话说，当一个信号时移 $T$ 后其值不变，这时就说 $x(t)$ 是一个周期信号，周期为 $T$ 。

如果 $x(t)$ 是周期的，周期为 $T$，那么对全部 $t$ 和任意整数 $m$ 来说就有 $x(t)=x(t+mT)$，由此 $x(t)$ 对于周期 $2T,3T,4T,...$ 等等都是周期的。 对于使式子 $(\mathrm{2.2.1})$ 成立的最小正值 $T$ 称为 $x(t)$ 的基波周期 $T_0$ 。

当 $x(t)$ 为一常数的情况下，基波周期无定义，因为这时对任意 $T$ 来说 $x(t)$ 都是周期的（所以不存在最小的正值 $T$）。

离散时间信号

在离散时间下可类似地定义出周期信号：如果一个离散时间信号 $x[n]$ 时移一个 $N$ 后其值不变，即对全部 $n$ 值有

$$x[n]=x[n+N]\text{\hspace{1em}(2.2.2)}$$

则 $x[n]$ 是周期的，周期为 $N$，$N$ 为某一个正整数。

若 $(\mathrm{2.2.2})$ 式成立，那么 $x[n]$ 对于周期 $2N,3N,4N,...$ 也都是周期的，其中使 $(\mathrm{2.2.2})$ 式成立的最小正值就是它的基波周期 $N_0$ 。

2.3 奇偶性

信号的另一种有用的性质是在时间反转之下有关信号的对称性问题。

如果一个信号 $x(t)$ 或 $x[n]$，以原点为轴反转后不变，就称其为偶信号。即

$$x(t)=x(-t)\text{\hspace{1em}(2.3.1)}$$

$$x[n]=x[-n]\text{\hspace{1em}(2.3.2)}$$

如果有

$$x(t)=-x(-t)\text{\hspace{1em}(2.3.3)}$$

$$x[n]=-x[-n]\text{\hspace{1em}(2.3.4)}$$

就称该信号为奇信号。一个奇信号在 $t=0$ 或 $n=0$ 必须为 0，因为根据定义 $x(0)=-x(0)$，而 $x(0)=0$ 时才满足。

任何信号都能分解为奇偶信号之和

$$x(t)=Ev\{x(t)\}+Od\{x(t)\}$$

其中，偶信号、奇信号分别为

$$Ev\{x(t)\}=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]$$

$$Od\{x(t)\}=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]$$

3. 指数信号与正弦信号

下面探讨一些典型信号，这些典型信号经常作为构造其他信号的基本信号单元，包括复指数信号（正弦信号）、单位脉冲与单位阶跃信号。

3.1 连续时间复指数信号与正弦信号

连续时间复指数信号具有如下形式

$$x(t)=C{e}^{at}\text{\hspace{1em}(3.1.0)}$$

其中，$C$ 和 $a$ 一般为复数，根据这两个参数值的不同，复指数信号具有不同的特征。

实指数信号

若 $C$ 和 $a$ 都是实数，这时 $x(t)$ 就称为实指数信号。此时

1. 若 $a>0$，则 $x(t)$ 随 $t$ 的增加而指数增长。这类信号可用来描述原子弹爆炸或复杂化学反应等很多不同的物理过程。
2. 若 $a<0$，则 $x(t)$ 随 $t$ 的增加而指数衰减。这类信号可用来描述放射性衰变、RC电路以及有阻尼的机械系统的响应等各种现象。
3. 对于 $a=0$，则 $x(t)$ 就为一常数。

周期指数和正弦信号

第二种重要的复指数信号是将 $a$ 限制为纯虚函数，特别是考虑如下信号

$$x(t)=e^{j{w}_{0}t}\text{\hspace{1em}(3.1.1)}$$

该信号的一个重要性质是它是周期信号。证明如下

如果存在一个 $T$ 使 $e^{j{w}_{0}t}=e^{j{w}_0(t+T)}$ 成立，则 $x(t)$ 就是周期的
为此 $e^{j{w}_0(t+T)}=e^{j{w}_{0}t}{e}^{j{w}_{0}T}$ 则必须有 $e^{j{w}_{0}T}=1$
若 $w_0=0,x(t)=1$， 这时对任何 $T$ 值都是周期的；
若 $w_0\ne 0$ 则使 $e^{j{w}_{0}T}=1$ 成立的最小正 $T$ 值，即基波周期 $T_0$ 应为
$T_0=\frac{2\pi }{|{\omega }_0|}$
可见 $e^{j{w}_{0}t}$ 和 $e^{-j{w}_{0}t}$ 都是具有同一基波周期的周期信号

和周期复指数信号密切有关的一种信号是正弦信号

$$x(t)=Acos({\omega }_{0}t+\varphi )\text{\hspace{1em}(3.1.2)}$$

利用欧拉关系，复指数信号可以用与其相同基波周期的正弦信号来表示，即

$$e^{j{\omega }_{0}t}=cos{\omega }_{0}t+jsin{\omega }_{0}t$$

而 $(\mathrm{3.1.2})$ 式的正弦信号也能用相同基波周期的复指数信号来表示，即

$$Acos({\omega }_{0}t+\varphi )=\frac{A}{2}{e}^{j({\omega }_{0}t+\varphi )}+\frac{A}{2}{e}^{-j({\omega }_{0}t+\varphi )}$$

4. 单位冲激与单位阶跃函数

5. 连续时间和离散时间系统

6. 基本系统性质

参考

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/104219270?utm_id=0