算法-动态规划-最长上升子序列

题目描述

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ...

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入有很多组，每组输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

输出每组的最长上升子序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8
6
2 3 4 1 6 5

样例输出 

4
4

思路分析

“求以ak（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”是个好的子问题――这里把一个上升子序列中最右边的那个数称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

由上所述的子问题只和一个变量相关，就是数字的位置。因此序列中数的位置k就是“状态”，而状态 k对应的“值”，就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。这个问题的状态一共有N个。状态定义出来后，转移方程就不难想了。假定MaxLen (k)表示以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度，那么：

MaxLen (1) = 1

MaxLen (k) = Max { MaxLen (i)：1

这个状态转移方程的意思就是，MaxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。

代码实现

#include 
using namespace std;

int a[1000];    //存储序列
int MaxLen[1000];

int main()
{
	int n;
	int i,j;
	while(~scanf("%d",&n)){
	    for(i=1;i<=n;i++){
	       cin>>a[i];
	    }
	    MaxLen[1]=1;
	    for(i=2;i<=n;i++){    //找到以第i个数为终点的最长上升子序列
	        int k=0;       //记录满足条件的，第i个数左边的上升子序列的最大长度
	        for(j=1;jmax){
		    max=MaxLen[i];
		}
	    }
	    cout<