常见的数据结构

1.1 数组(Array)

数组是一种顺序存储的线性表，所有元素的内存地址都是连续的。

特性

• 元素的值按顺序放置，并通过从 0 到数组长度的索引访问；
• 数组是连续的内存块；
• 它们通常由相同类型的元素组成（这取决于编程语言）；
• 元素的访问和添加速度很快；搜索和删除不是在 O(1) 中完成的。

1.2 链表（Linked Lists）

链表是线性数据结构，就像数组一样。链表和数组的主要区别在于链表的元素不存储在连续的内存位置。它由节点组成——实体存储当前元素的值和下一个元素的地址引用。这样，元素通过指针链接。

特性

• 它们分为三种类型：单独的、双重的和圆形的；
• 元素不存储在连续的内存块中；
• 完美的优秀内存管理（使用指针意味着动态内存使用）；
• 插入和删除都很快；访问和搜索元素是在线性时间内完成的

1.3 堆栈（Stacks）

堆栈是一种抽象数据类型，它形式化了受限访问集合的概念。该限制遵循 LIFO（后进先出）规则。因此，添加到堆栈中的最后一个元素是您从中删除的第一个元素。

堆栈可以使用数组或链表来实现

特性

• 一次只能访问最后一个元素（顶部的元素）；
• 一个缺点是，一旦您从顶部弹出元素以访问其他元素，它们的值将从堆栈的内存中丢失；
• 其他元素的访问是在线性时间内完成的；任何其他操作都在 O(1) 中。

1.4 队列（Queues）

​ 队列是受限访问集合中的另一种数据类型，就像前面讨论的堆栈一样。主要区别在于队列是按照FIFO（先进先出）模型组织的：队列中第一个插入的元素是第一个被移除的元素。队列可以使用固定长度的数组、循环数组或链表来实现。

特性

• 我们只能直接访问引入的“最旧”元素；
• 搜索元素将从队列的内存中删除所有访问过的元素；
• 弹出/推送元素或获取队列的前端是在恒定时间内完成的。搜索是线性的

1.5 Map 和 哈希表（Hash Table）

Maps （dictionaries）是包含键集合和值集合的抽象数据类型。每个键都有一个与之关联的值。

哈希表是一种特殊类型的映射。它使用散列函数生成一个散列码，放入一个桶或槽数组：键被散列，结果散列指示值的存储位置。

最常见的散列函数（在众多散列函数中）是模常数函数。例如，如果常量是 6，则键 x 的值是x%6。

理想情况下，散列函数会将每个键分配给一个唯一的桶，但他们的大多数设计都采用了不完善的函数，这可能会导致具有相同生成值的键之间发生冲突。这种碰撞总是以某种方式适应的。

特性

• 键是唯一的（没有重复）；
• 抗碰撞性：应该很难找到具有相同键的两个不同输入；
• 原像阻力：给定值 H，应该很难找到键 x，使得h(x)=H；
• 第二个原像阻力：给定一个键和它的值，应该很难找到另一个具有相同值的键；

1.6 图表（Graphs）

图是表示一对两个集合的非线性数据结构：G={V, E}，其中 V 是顶点（节点）的集合，而 E 是边（箭头）的集合。节点是由边互连的值 - 描述两个节点之间的依赖关系（有时与成本/距离相关联）的线。

图有两种主要类型：有向图和无向图。在无向图中，边(x, y)在两个方向上都可用：(x, y)和(y, x)。在有向图中，边(x, y)称为箭头，方向由其名称中顶点的顺序给出：箭头(x, y)与箭头(y, x) 不同。

特性

图论是一个广阔的领域，但我们将重点介绍一些最知名的概念：

• 无向图中节点的度数是它的关联边数；
• 有向图中节点的内部/外部度数是指向/来自该节点的箭头的数量；
• 从节点 x 到节点 y 的链是相邻边的连续，x 是它的左端，y 是它的右边；
• 一个循环是一个链，其中 x=y；图可以是循环/非循环的；如果 V 的任意两个节点之间存在链，则图是连通的；
• 可以使用广度优先搜索 (BFS) 或深度优先搜索 (DFS) 遍历和处理图，两者都在 O(|V|+|E|) 中完成，其中 |S| 是集合S 的基数；查看下面的链接，了解图论中的其他基本信息。

1.7 树（Trees）

一棵树是一个无向图，在连通性方面最小（如果我们消除一条边，图将不再连接）和在无环方面最大（如果我们添加一条边，图将不再是无环的） . 所以任何无环连通无向图都是一棵树，但为了简单起见，我们将有根树称为树。

根是一个固定节点，它确定树中边的方向，所以这就是一切“开始”的地方。叶子是树的终端节点——这就是一切“结束”的地方。
一个顶点的孩子是它下面的事件顶点。一个顶点可以有多个子节点。一个顶点的父节点是它上面的事件顶点——它是唯一的

特性

• 根没有父级；
• 叶子没有孩子；
• 根和节点 x 之间的链的长度表示 x 所在的级别；
• 一棵树的高度是它的最高层（在我们的例子中是 3）；
• 最常用的遍历树的方法是 O(|V|+|E|) 中的 DFS，但我们也可以使用 BFS；使用 DFS 在任何图中遍历的节点的顺序形成 DFS 树，指示我们访问节点的时间。

1.8 二叉树（Binary Trees）和二叉搜索树（Binary Search Trees）

二叉树是一种特殊类型的树：每个顶点最多可以有两个子节点。在严格二叉树中，除了叶子之外，每个节点都有两个孩子。具有 n 层的完整二叉树具有所有2ⁿ-1 个可能的节点。

二叉搜索树是一棵二叉树，其中节点的值属于一个完全有序的集合——任何任意选择的节点的值都大于左子树中的所有值，而小于右子树中的所有值。

特性

BST 有三种类型的 DFS 遍历：

• 先序（根、左、右）；
• 中序（左、根、右）；
• 后序（左、右、根）；全部在 O(n) 时间内完成；
• 中序遍历以升序为我们提供了树中的所有节点；
• 最左边的节点是 BST 中的最小值，最右边的节点是最大值；
• 注意 RPN 是 AST 的中序遍历；
• BST 具有排序数组的优点，但有对数插入的缺点——它的所有操作都在 O(log n) 时间内完成。

1.9 AVL树（Adelson-Velsky and Landis Trees ）

所有这些类型的树都是自平衡二叉搜索树。不同之处在于它们以对数时间平衡高度的方式。

AVL 树在每次插入/删除后都是自平衡的，因为节点的左子树和右子树的高度之间的模块差异最大为 1。 AVL 以其发明者的名字命名：Adelson-Velsky 和 Landis。

在红黑树中，每个节点存储一个额外的代表颜色的位，用于确保每次插入/删除操作后的平衡。

在 Splay 树中，最近访问的节点可以快速再次访问，因此任何操作的摊销时间复杂度仍然是 O(log n)。

特性

• ANY自平衡BST中ANY操作的摊销时间复杂度为O(log n)；
• 在最坏的情况下，AVL 的最大高度是 1.44 * log2n（为什么？提示：考虑所有级别都已满的 AVL 的情况，除了最后一个只有一个元素）；
• AVLs 在实践中搜索元素是最快的，但是为了自平衡而旋转子树的成本很高；
• 同时，由于没有旋转，RBT 提供了更快的插入和删除；
• 展开树不需要存储任何簿记数据。

1.10 堆（Heaps）

最小堆是一棵二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其父节点的值：val[par[x]] <= val[x]，具有堆的 xa 节点，其中val[ x]是它的值，par[x] 是它的父级。

还有一个实现相反关系的最大堆。

二叉堆是一棵完整的二叉树（它的所有层都被填充，除了最后一层）

特性

• 它总是平衡的：无论何时我们在结构中删除/插入一个元素，我们只需要“筛选”/“渗透”它直到它处于正确的位置；
• 节点k > 1的父节点是[k/2]（其中 [x] 是 x 的整数部分），其子节点是2k和2k+1；
• 设置优先级队列的替代方案，ordered_map（在 C++ 中）或任何其他可以轻松允许访问最小/最大元素的有序结构；
• 根优先，因此其访问的时间复杂度为O(1)，插入/删除在O(log n)中完成；创建一个堆是在 O(n) 中完成的；O(n*log n)中的堆排序。

1.11 字典树（Tries）

trie 是一种高效的信息检索数据结构。也称为前缀树，它是一种搜索树，允许以 O(L) 时间复杂度插入和搜索，其中 L 是键的长度。

如果我们将密钥存储在一个平衡良好的 BST 中，它将需要与 L * log n 成正比的时间，其中 n 是树中的密钥数量。这样，与 BST 相比，trie 是一种更快的数据结构（使用 O(L)），但代价是 trie 存储要求。

特性

• 它有一个键值关联；键通常是一个单词或它的前缀，但它可以是任何有序列表；
• 根有一个空字符串作为键；
• 节点值与其子节点值之间的长度差为 1；这样，根的子节点将存储长度为 1 的值；作为结论，我们可以说来自第 k 层的节点 x 具有长度k 的值；
• 正如我们所说，插入/搜索操作的时间复杂度是 O(L)，其中 L 是键的长度，这比 BST 的 O(log n) 快得多，但与哈希表相当；

空间复杂度实际上是一个缺点：O(ALPHABET_SIZELn)。