算法导论复习（五）| 求解递归式

分治法时间复杂度的求解

设开始时，问题的规模为n，之后被分解为两个子问题，子问题的规模分别n1和n2。
令T(n)表示对规模为n时问题求解的时间，则规模分别为n1和n2的子问题的求解时间可表示为T(n1)和T(n2)。

一般地，T(n)和T(n1)、T(n2)的关系可表示为：T(n) =T(n1)+T(n2)+f(n)，其中f(n)是指除子问题递归求解以外的、其它必要处理所花费的时间。

因此，分治算法的计算时间表达式也往往是递归式。

三种常用的递归式求解方法：

• 代换法
• 递归树法
• 主方法

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代换法

基本思想：
先猜测解的形式，然后用数学归纳法求出解中的常数，并证明解是正确的。
此时，用猜测的解作为归纳假设，在推论证明时作为较小值代入函数，然后证明推论的正确性。
步骤：

• 猜测解的形式
• 用数学归纳法求出解中的常数，并证明猜测的正确性

例题：

在使用代换法求解递归式时，只需要考虑当n足够大时猜测解的正确性，对于边界条件一般不需要考虑。
化简递归式时，最后T(n)的形式应该与猜测解的形式完全相同。
另一个例题：

证明：T(n)=T(⌈n/2⌉)+1**的解为 O(lgn).

T(n)≤clg(⌈n/2⌉−a)+1
​	≤clg((n+1)/2−a)+1
​	=clg((n+1−2a)/2)+1
​	=clg(n+1−2a)−clg2+1	(c≥1)
​	≤clg(n+1−2a)		(a≥1)
​	≤clg(n−a)

猜测递归式解的一些技巧

例题：

设S(m) = T(2^m)，得以下形式递归式：S(m)<=2S(m/2)+m

注意：此时右侧余项m不能变为logm，因为对S(m)的代换只是改变了函数的形式，而m本身没有被换元。

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递归树法

递归树

反应递归的执行过程。每个节点表示一个单一子问题的代价，子问题对应某次递归调用，根节点代表顶层调用的代价，子节点分别代表各层递归调用的代价。

基于递归树的时间分析

• 节点代价：在递归树中，每个节点有求解相应（子）问题的代价。
• 层代价：每一层各节点代价之和。
• 总代价：整棵树的各层代价之和。

利用树的性质，获取对递归式解的猜测，然后用代换法或其它方法加以验证。

例题：

T(n)的演化过程：
扩展直到递归的最底层，得到如下形式的递归树：

完全扩展的递归树，高度为log-4-n（共log-4-n+1层）。

代价计算：

注意：此时获得的T(n)的解只是一个猜测，需要通过代换法进行验证。

具体的证明方法和文字描述可以参考《算法导论》52页第5段。

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主方法

适用范围

如果递归式有如下形式，在满足一定的条件下，可以用主方法直接给出渐近界：
$$T(n)=aT(n/b)+f(n)$$
其中，a、b是常数，且a≥1，b>1；f(n)是一个渐近正的函数。

主定理

考题：

例题：

求解递推关系式() = 16 (⁴) + ²

解：a=16,b=4,f(n)=n²
log_ba=2,f(n)=n²=n^log_b^a
∴T(n)=Θ(n²logn)

主方法的失效

例题：

注意上述两种情况的比较。

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