第一章 随机事件和概率

1.1 随机事件的公式 重要程度：三星

事件的关系、运算和运算律

1. 事件的关系

• 包含关系：$A\subset B\iff$ 事件A发生一定导致B发生.
• 事件相等：$A\subset B$ 且 $B\subset A$, 则事件 $A=B$.
• 互斥(互不相容)事件：$AB=\varnothing \iff$ A, B不能同时发生.
• 对立(互逆)事件：$A\cup B=\Omega$ 且 $A\cap B=\varnothing \iff$ A, B在一次试验中必然发生且只能发生一个.A的对立事件记为 $\overline{A}$.

2. 事件的运算

• A与B的和事件：记为 $A\cup B\iff A$ 或 $B$ 至少有一个发生时，事件 $A\cup B$ 发生.
• A与B的积事件：记为 $A\cap B\iff A$ 且 $B$ 同时发生时，事件 $A\cap B$ 发生.
• A与B的差事件：事件 $A-B\iff A$ 发生且B不发生时，事件 $A-B$ 发生.也记为 $A\overline{B}$.

3. 事件的运算律

• 交换律：$A\cup B=B\cup A$, $A\cap B=B\cap A$.
• 结合律：$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$, $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$.
• 分配律：$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.
• 德摩根律(对偶律)：$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$, $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$.

例题

对任意二事件 $A,B$, 与 $A\cup B=B$ 不等价的是：

• A. $A\subset B$
• B. $\overline{B}\subset \overline{A}$
• C. $AB=\varnothing$
• D. $\overline{A}B=\varnothing$

【解析】
$A\cup B=B$ 等价于 $A\subset B$ 或 $\overline{B}\subset \overline{A}$, 也就说明AB没有公共部分，即 $A\overline{B}=\varnothing$。
故 $A\cup B=B$ 与选项A, B, C都等价，故选D.

1.2 概率计算的公式 重要程度：四星

加法公式

1. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB).$
2. $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).$

减法公式

设 $A,B$ 是任意两个事件，则有:

1. $P(A-B)=P(A)-P(A\cap B).$
2. 若 $B\subset A$, 则有 $P(A-B)=P(A)-P(B).$

条件概率公式（除法公式）

设 $A,B$ 是两个事件，且 $P(A)>0$, 称
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
为在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的条件概率。

性质

1. $0\le P(B|A)\le 1$.
2. $P(\varnothing |A)=0,P(\Omega |A)=1$.
3. $P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)$.
4. $P(\overline{B}A)+P(BA)=P(A)$
5. $P(B_1\cup B_2|A)=P(B_1|A)+P(B_2|A)-P(B_1{B}_2|A)$.

例题

已知 $P(A|B)=0.7,P(A|\overline{B})=0.3,P(B|A)=0.6$, 求 $P(A)$.

【解析】

由题意，$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=0.7$,
$$P(A|\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)}=0.3,$$
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=0.6$$
把 $P(AB),P(A),P(B)$ 三者看成未知数，有三个方程可以求解得到 $P(A)=\frac{21}{46}$.

乘法公式

1. 若 $P(A)>0$, 则 $P(AB)=P(B|A)\cdot P(A).$
2. 设 $A,B,C$ 为事件，且 $P(AB)>0$, 则 $P(ABC)=P(C|AB)\cdot P(B|A)\cdot P(A).$

例题

【例题1】
一个电路上安装有甲乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，甲烧断的概率为0.82, 乙烧断的概率为0.74, 两根保险丝同时烧断的概率为0.63, 则至少烧断一根保险丝的概率是？

【解析】
用 $A$ 和 $B$ 分别表示甲、乙烧断的事件，则至少烧断一根的事件即为 $A\cup B$, 所以 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.82+0.74-0.63=\mathrm{0.93.}$

【例题2】
已知 $P(A)=p,P(B)=q$, 且 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $A$ 与 $B$ 恰有一个发生的概率为？

【解析】
$A$ 与 $B$ 恰有一个发生的概率为 $P(\overline{A}B)+P(A\overline{B})$, 因为 $A$ 与 $B$ 互斥，所以 $P(AB)=0.$ 因而 $P(\overline{A}B)+P(A\overline{B})=P(B)-P(AB)+P(A)-P(AB)=p+q.$

全概率公式

若 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 是完备事件组，且 $P(B_i)>0,i=1,2,\cdots ,n$, 则
$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i).$$

贝叶斯公式

若 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 是完备事件组，$P(A)>0$,
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

例题

【例题】
已知甲盒中有3个黑球，1个白球，乙盒中有2个黑球，2个白球，先从甲盒中任取1球X放入乙盒中，再从乙盒中任取一球Y，若已知Y是黑球，求X是黑球的概率。

【解析】
设事件A表示X是黑球，则 $\overline{A}$ 表示X是白球，设事件B表示Y是黑球。

根据全概率公式得
$$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})=\frac{3}{5}\times \frac{3}{4}+\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{11}{20}$$
再由贝叶斯公式得
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{5}\times \frac{3}{4}}{\frac{11}{20}}=\frac{9}{11}$$

事件独立性 重要程度：五星

两个事件的独立性

1. 定义

若 $P(AB)=P(A)P(B)$, 则称事件 $A,B$ 相互独立。

2. 性质

1. 若事件 $A,B$ 相互独立，则 $A\overline{B},\overline{A}B,\overline{A}\overline{B}$ 也相互独立。
2. 概率为0或1的事件与任何事件是相互独立的。

例题

设事件A与B独立，且两个事件仅发生一个的概率都是 $\frac{3}{16}$, 求 $P(A)$.

【解析】

由已知条件，可得 $P(A\overline{B})=P(\overline{A}B)=\frac{3}{16}$.

故 $P(A)=P(B)$, 且 $P(A)-P(A)P(B)=\frac{3}{16}$.

因此 $P(A)-[P(A){]}^2=\frac{3}{16}$, 即 $P(A)=\frac{1}{4}$ 或 $P(A)=\frac{3}{4}$.

三个事件的独立性

1. 定义

三个事件 $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ 相互独立。

2. 性质

如果事件 $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ 相互独立，则 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 经过和、积、差的运算后得到的事件与 $\mathcal{C}$ 或 $\overline{\mathcal{C}}$ 相互独立。

例题

设事件 $A,B$ 满足 $P(A)=0.4,P(B)=0.5$, 且 $P(A|B)=P(A|\overline{B})$, 求 $P(A\overline{B})$ 的概率是？

【解析】

由 $P(A|B)=P(A|\overline{B})$ 可推得，$A$ 与 $B$ 独立，即
$$P(AB)=P(A)P(B)$$
根据独立性的性质，可得 $A$ 与 $\overline{B}$ 也独立，所以
$$P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})=0.4\times (1-0.5)=0.2$$

三大概率模型 重要程度：五星

古典概型

古典型概率 $P(A)=\frac{n_A}{n}$, 其中 $n_A$ 是A包含的事件数，$n$ 是基本事件总数。

例题

抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率为 ( ).

A. $\frac{15}{16}$ B. $\frac{1}{16}$

C. $\frac{5}{16}$ D. $\frac{13}{16}$

【解析】

求既出现正面又出现反面的概率，可先求其对立事件的概率，即抛5次全是正面或全是反面的概率为 $\frac{1}{2^5}$. 因此，既出现正面又出现反面的概率为 $1-2\times \frac{1}{2^5}=\frac{15}{16}$.

故选 A.

几何概型

几何型概率 $P(A)$ 与区域的面积成正比。

例题

随机向半圆 $0<y<\sqrt{2ax-x^2}(a>0)$ 内投掷一点，点落在半圆内的任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点连线与x轴正方向夹角小于 $\frac{\pi }{4}$ 的概率为 ( ).

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{\pi }$

C. $\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }$ D. 1

【解析】

设事件 $A$ 表示原点和该点连线与x轴正方向夹角小于 $\frac{\pi }{4}$, 则

$$P(A)=\frac{S_A}{S_{\Omega }}=\frac{\frac{a^2}{2}+\frac{1}{4}\pi a^2}{\frac{1}{2}\pi a^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }.$$

故选 C