李毓佩《数学历险记》———牛吃草问题(牛顿问题)

问题描述:

        由于天气渐冷,牧场上的草以固定的速度减少。已知牧场上的草可供33匹马吃5天,或者可供24匹马吃5天。照此计算,这个牧场上的草可供现在在马厩里白马吃10天。问现在马厩里有多少匹马?

        分析:假设一匹白马一天吃草一份,那么:

                        33 * 5 = 165(份) 33匹马5天吃草165份,

                        24 *6=144(份)24匹马6天吃草144份。由此,寒冷使得草每于减少

                        (165 - 144) / (6 - 5) = 21(份),相当于21匹马在吃草。

         所以这个牧场有草(33 + 21) *5= 270(份)。这些牧草可以供马厩里的马吃10天,相当于每天消耗270 / 10 = 27(份),其中21份草因为天所寒冷减少掉的,所以可供马吃的数量为27 - 21 = 6(份),意即现有马厩里还有6匹马。

扩展:一片草地,每天草都匀速增长。如果可供24头牛吃6天,或者可供20头牛吃10天,那么可供19头牛吃几天?   

                解:列方程  假设一头牛一天吃一单位的草。设原来草的数量为a,草每天增加的数量为x,

                        那么有:  \begin{cases} & \text{ } a + 6x=24*6 \\ & \text{ } a + 10x= 20 * 10 \end{cases}   解得x = 14 ,a = 60即草场每天增加14份草,草场上共有60份草。那么19头牛可以吃的天数为:

                                        60 / (19 - 14) = 12(天),相当于每天只有5头牛消耗草场上的草。

                        
百度百科--牛顿问题

        牛顿问题,因由牛顿提出而得名,也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。英国著名的物理学家牛顿曾编过这样一道题目:牧场上有一片青草,每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃,可以吃22天,或者供给16头牛吃,可以吃10天,期间一直有草生长。如果供给25头牛吃,可以吃多少天?这种类型的题目就叫做牛顿(牛吃草)问题,亦叫做消长问题。     

解题环节主要有四步:

1、求出每天长草量;

2、求出牧场原有草量;

3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-生长的草量= 消耗原有的草量);

4、最后求出牛可吃的天数。

想:这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较,得到的10×22-16×10=60,类似于60头牛1天吃的草,平均分到(22-10)天里,便得到5头牛一天吃的草,也就是每天新长出的草。求出了这个条件,把所有头牛分成两部分来研究,用其中一部分(5头)吃掉新长出的草,用另外一部分吃掉原有的草,即可求出全部头牛吃的天数。

设一头牛1天吃的草为一份。

那么10头牛22天吃草为1×10×22=220(份),16头牛10天吃草为1×16×10=160(份)

(220-160)÷(22-10)=5(份),说明牧场上一天长出新草5份。

220-5×22=110(份),说明原有老草110份。

综合式:110÷(25-5)=5.5(天),就能算出一共多少天。

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