第2章 排列与组合
2.1 基本的计数原理
【本】质因数分解 确定数 3 4 ∗ 5 2 ∗ 1 1 7 ∗ 1 3 8 3^4 * 5^2 * 11^7 * 13^8 34∗52∗117∗138正整数因子的个数 -1
【扩】6个桔子和9个苹果，组成多少种非空不同的果篮？ 7*10-1=69
2.2 2.3 集合的排列与组合
排列数 P ( n , r ) = P ( n − 1 , r ) + r P ( n − 1 , r − 1 ) P(n, r) = P(n-1, r) + rP(n-1, r-1) P(n,r)=P(n−1,r)+rP(n−1,r−1)
| 有序 | 无重复 | P ( n , k ) P(n,k) P(n,k) |
| 无限重复 | r排列 k r k^r kr | |
| 有限重复 | 全排列 n ! n 1 ! n 2 ! . . . n k ! \frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!} n1!n2!...nk!n! r排列第七章 生成排列 | |
| 有序 | 无重复 | ( n k ) \tbinom{n}{k} (kn) |
| 无限重复 | ( r + k − 1 k − 1 ) \tbinom{r+k-1}{k-1} (k−1r+k−1) | |
| 有限重复 | 第六章 容斥原理 |
排列
类一：集合的线性排列（r排列 / 全排列）
【本】不相继出现问题
{1，2…,9}各位互异的7位数，使5、6不相继出现 （r排列问题） 分类讨论
26个英文字母，aeiou任意两个不相继出现 （全排列问题） 插空
类二：集合的循环排列
【本】相邻不相邻问题
10人排一列，其中两人不相邻 P ( 10 , 10 ) − 9 ∗ 2 ∗ P ( 8 , 8 ) P(10, 10) - 9* 2 * P(8,8) P(10,10)−9∗2∗P(8,8)
10人坐圆桌，其中两人不相邻 P ( 10 , 10 ) / 10 − 2 ∗ P ( 9 , 9 ) / 9 P(10, 10) / 10- 2 * P(9,9)/ 9 P(10,10)/10−2∗P(9,9)/9 P ( n , r ) r = n ! r ( n − r ) ! \frac{P(n,r)}{r} = \frac{n!}{r(n-r)!} rP(n,r)=r(n−r)!n!
10颗不同的珠子做项链，其中两颗不相邻 P ( 10 , 10 ) / ( 2 ∗ 10 ) − 2 ∗ P ( 9 , 9 ) / ( 9 ∗ 2 ) P(10, 10)/ (2*10) - 2 * P(9, 9) / (9 * 2) P(10,10)/(2∗10)−2∗P(9,9)/(9∗2)
【悟】循环排列相当于顺序仅仅在于相邻一圈的了，因此除以r。而项链顺时针逆时针的顺序也等价，故再除以2
组合
类一：无限重复集合的组合
每个词包含3，4，5个元音。那么字母表中26个字母可以构成多少个8字母词？
C ( 8 , 5 ) 5 3 2 1 5 + C ( 8 , 4 ) 5 4 2 1 4 + C ( 8 , 5 ) 5 5 2 1 3 C(8, 5) 5^3 21^5 + C(8,4) 5^4 21^4 + C(8,5) 5^5 21^3 C(8,5)53215+C(8,4)54214+C(8,5)55213
2.4 2.5 多重集的排列和组合
引子：投球入盒模型
编号为1、2、3各若干乒乓球，如果各编号乒乓球无限多，去除四个排列 3 4 3^4 34
如果1号乒乓球2个，2号1个，3号3个，4号1个 全排列数？4排列数？
全排列： 7 ! 2 ! 3 ! \frac{7!}{2!3!} 2!3!7!
无限重复数r排列： k r k^r kr
有限重复数全排列： n ! n 1 ! n 2 ! . . . n k ! \frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!} n1!n2!...nk!n! = ( n n 1 ) ( n − n 1 n 2 ) . . . ( n − n 1 − n 2 − . . . n k − 1 n k ) \tbinom{n}{n1} \tbinom{n-n_1}{n_2} ... \tbinom{n-n_1-n_2-...n_{k-1}}{n_k} (n1n)(n2n−n1)...(nkn−n1−n2−...nk−1) 排列带有组合选位置的意味 多重集的排列与组合选择的关系
有限重复数r排列
多重集排列——非攻击性车摆放
**定理：**n车k色，其中第一种颜色的车有 n 1 n_1 n1个，第二种颜色的车有 n 2 n_2 n2…使没有车互相攻击的摆放方法数 n ! n 1 . . . n k n ! \frac{n!}{n_1...n_k} n! n1...nkn!n!
完整版本：m*m的棋盘，在横坐标上选择n个 ( m n ) \tbinom{m}{n} (nm)填入 ( ) () ()中，此时括号并没有区别，相当于把棋盘裁剪了。然后剩下的看纵坐标，因为有了横坐标的顺序，在 ( x i , k ) (x_i, k) (xi,k)这个k要填进去的环境有顺序要求了。这时候是排列数 P ( n , n 1 ) P(n,n1) P(n,n1)。要往 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi,yi)上放上车，就看车是不是一样的。
8×8的棋盘上，对于非攻击型车有多少种可能的摆放法？ 8!
8个车互不相同，用不同颜色标记 ( 8 ! ) 2 (8!)^2 (8!)2
【本】1个红车、3个蓝车、4个黄车 8 ! 1 ! 3 ! 4 ! 8 ! \frac{8!}{1!3!4!} 8! 1!3!4!8!8!
【扩】2个红车，4个黑车放入8*8棋盘 ( 8 6 ) P ( 8 , 6 ) ( 6 2 ) \tbinom{8}{6}P(8,6) \tbinom{6}{2} (68)P(8,6)(26)
多重集排列——投球入盒模型
把n个对象的盒子划分成k个有标签的盒子，$ \frac{n!}{n_1!n_2!..n_k!}$
盒子没有标签， n 1 = n 2 = . . . = n k n_1 = n_2 = ... = n_k n1=n2=...=nk $ \frac{n!}{k!n_1!n_2!..n_k!}$
【例】2n个人分成n组，每组2人，有多少分法 <==> 2n个不同球投入n个相同盒子，每个盒子2个
多重集的组合——隔板法
两种理解方法，要么是把它抻平最多加到k+r-1（r）；要么是隔板法
【本】k=4数字，每个数字可以用无数次，r=5的组合数为多少?
n 1 + n 2 + . . . + n k = r n_1 + n_2 + ... + n_k = r n1+n2+...+nk=r的非负整数解个数 ( k + r − 1 k − 1 ) \tbinom{k+r-1}{k-1} (k−1k+r−1)，正整数解 ( r − 1 k − 1 ) \tbinom{r-1}{k-1} (k−1r−1)