【动态规划】初识，钢条切割问题

正文之前

其实动态规划老早之前就看过， 但是可惜的是印象不深，到今天彻底忘得差不多了，这两天看《算法导论》终于让我啃下了二叉搜索树和红黑树两个家伙，虽然还未曾熟练于胸，但是基本能用了。。。现在看到了动态规划，这就不得不来搞一搞了。。以一个最简单的钢条切割的示例来详解下我的收获

正文

首先发代码，这个是自底向上的版本，其他的版本不做多的解释，这个最好用最直观。

#include 
#include
using namespace std;

int max(int a,int b){
    return a>b?a:b;
}
int BOTTOM_UP_CUT(int p[], int n){
    int r[n];
    r[0]=0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        int q=0;
        for (int j = 1; j <= i && j<11; ++j)
        {
            q = max(q,p[j] + r[i-j]);
        }
        r[i] = q;
    }
    return r[n];
}

int main(){
    //输入数据
    int p[11] = {0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
    //输入数据
    clock_t start = clock();
    cout<

结果也是喜人：

大概的意思就是：

0 段 ---> 售价：0
1 段 ---> 售价：1
2 段 ---> 售价：5
3 段 ---> 售价：8
4 段 ---> 售价：9
5 段 ---> 售价：10
6 段 ---> 售价：17
7 段 ---> 售价：17
8 段 ---> 售价：20
9 段 ---> 售价：24
10 段 ---> 售价：30

需要我们规划一个算法来解出对于任意的长度n，又怎样的切割方式来获取最大的利润？

那么，我们以自底向上的思想来考虑的话，对于任何一个长度n的钢条，最大利润下的分割方案总是由左边的一段长度i和另外一段组合（还要继续细分）长度n-i组成。假设最佳方案下的i不变，那么我们只要考虑n-i的分割方案。于是我们就可以考虑n-i长度的钢条如何切割。（至于如何确定i？当然是遍历了~）然后这么一直考虑下去，最后总归会到1这个长度的。这样的话就无法继续细分。所以我们完全有:

那么代码就很好解释了

1. 初始化r[0] = 0，这个意思是长度为0的时候总收益为0；

int BOTTOM_UP_CUT(int p[], int n){
    int r[n];
    r[0]=0;

对于左边的i的长度，我们理所当然的从1开始算起，这样的话，就可以直接利用r[1] = max(p[1],p[1]+r[0] )算出来了。这样，当我们需要算r[2]的时候，就可以看看，到底是p[1]+r[1] 大还是p[2]+r[0]大了。。然后就这么一路平推过去。。

    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {

q是在一次i分段过程中，设置的最大收益寄存器。

        int q=0;

这个过程就是来考察既定的左边段长i下如何获得右边n-i的最大收益的循环了。别看一开始就用上了r，但是考虑到我们的i从1开始，所以一开始只需要r[0]就可以计算出r[1]，等到后面要别的了。就会发现前面已经把所有的子问题都铺垫好了。

        for (int j = 1; j <= i && j<11; ++j)
        {
            q = max(q,p[j] + r[i-j]);
        }

不得不说这个q真的用的妙，初始为0的话，完全就可以视作为r[0]使用。而后每一次循环结束都会刷新它的值，也就是对于n-i这一段，如果再把它细分，每一次细分之下的结果中的最大值会放到q中去，自然而然，一轮循环下来，q就存储了r[n-i]的最大值了。。

        r[i] = q;
    }
    return r[n];
}

正文之后

不缩了不缩了。。撤撤撤。。准备吃饭去了_{晚上还接了个音控岗的班}还要去冲饮水卡。。贼恼火。。。