四棱锥：2016年理数北京卷题17

四棱锥：2016年理数北京卷题17

（17）（本小题14 分）

如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， , , .

2016年理科数学北京卷题17

（Ⅰ）求证∶ 平面 ;

（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值;

（Ⅲ）在棱 上是否存在点 ，使得 // 平面 ? 若存在，求 的值；若不存在，说明理由.

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【解答问题Ⅰ】

∵ 平面 平面 ，平面 平面 ，

∴ 平面 .

又∵ 平面 ,

∴ .

∵ , ,

∴ 求证∶ 平面 . 证明完毕.

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【解答问题Ⅱ】

作 中点 . 记点 与平面 的距离为 .

则

∵ , ∴ .

∵ 是直角三角形，用勾股定理可求得：

是等腰三角形，其三边长为

∴ 直线 与平面 所成角的正弦值

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【解答问题Ⅲ】

在棱 上是否存在点 ，使得 // 平面 ， 等效于：

在棱 上是否存在点 ，使得 两点与平面 的距离相等 ， 又等效于：

结论：存在符合要求的点, .

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【提炼与提高】

灵活应用面积公式和体积公式，可以解决很多问题，如：线面角问题、平行问题。

类似的考题还有不少。如：

2018年文数全国卷A题18

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