最小生成树--Prim算法

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适用场景：

问题描述

Prim算法的实现原理：

实现代码C++：

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适用场景：

朴素版的Prim算法主要是应用于最小生成树问题中稠密图的情形，解决求连通图中将所有边连通起来时需要的最短距离问题，具有一定的实际应用意义。时间复杂度为O(n^2) 。

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问题描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过10000。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

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Prim算法的实现原理：

一.初始化距离为正无穷
二.n次迭代
     找到集合外距离最近的点t
    用t更新其他点到集合的距离  集合指的是当前连通图中所有点组成的集合
    把t加入集合s st[t] = true;

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实现代码C++：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int dist[N];//存储当前点到集合的最小距离
int g[N][N];
int n,m;
bool st[N];

int Prim(){
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    int res = 0;
    for(int i=0;idist[j]))
                t =  j;
        }
        //除了第一个点以外的点 如果到集合s的距离是无穷大的话 函数直接返回INF
        if(i && dist[t]==INF) return INF;
        //除了第一个点以外的点 进行累加集合中的边 第一个点参与累加没有意义
        if(i) res += dist[t];
        //将该点加入集合s中
        st[t] = true;

        //用加入该集合的点更新其他点到集合的最小距离 
        //注意 在这里的更新操作必须在累加集合边的后面 如果先更新此步的话 若出现自环 会使得更新的dist变小 从而影响res的值
        //但如果后更新此步 dist[t]的值已经被加入了res中 不会对结果造成影响了
        for(int j =1;j<=n;j++)
            dist[j] = min(dist[j],g[t][j]);
    }
    return res;
}
int main(){
    //初始化邻接矩阵
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i>a>>b>>c;
        //有向图 需要添加两条边 取min是避免重边的影响
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],c);
    }
    int t = Prim();
    if(t==INF) cout<<"impossible"<