leetcode 每日一题 2024年01日04月 被列覆盖的最多行数

题目

本文主要提供一些和题解不同的解题方式

整体上分两步：暴力+优化

2397. 被列覆盖的最多行数

给你一个下标从 0 开始、大小为 m x n 的二进制矩阵 matrix ；另给你一个整数 numSelect，表示你必须从 matrix 中选择的 不同 列的数量。

如果一行中所有的 1 都被你选中的列所覆盖，则认为这一行被 覆盖 了。

形式上，假设 s = {c1, c2, ...., cnumSelect} 是你选择的列的集合。对于矩阵中的某一行 row ，如果满足下述条件，则认为这一行被集合 s 覆盖：

• 对于满足 matrix[row][col] == 1 的每个单元格 matrix[row][col]（0 <= col <= n - 1），col 均存在于 s 中，或者
• row 中 不存在 值为 1 的单元格。

你需要从矩阵中选出 numSelect 个列，使集合覆盖的行数最大化。

返回一个整数，表示可以由 numSelect 列构成的集合 覆盖 的 最大行数 。

示例 1：

输入：matrix = [[0,0,0],[1,0,1],[0,1,1],[0,0,1]], numSelect = 2
输出：3
解释：
图示中显示了一种覆盖 3 行的可行办法。
选择 s = {0, 2} 。
- 第 0 行被覆盖，因为其中没有出现 1 。
- 第 1 行被覆盖，因为值为 1 的两列（即 0 和 2）均存在于 s 中。
- 第 2 行未被覆盖，因为 matrix[2][1] == 1 但是 1 未存在于 s 中。
- 第 3 行被覆盖，因为 matrix[2][2] == 1 且 2 存在于 s 中。
因此，可以覆盖 3 行。
另外 s = {1, 2} 也可以覆盖 3 行，但可以证明无法覆盖更多行。

示例 2：

输入：matrix = [[1],[0]], numSelect = 1
输出：2
解释：
选择唯一的一列，两行都被覆盖了，因为整个矩阵都被覆盖了。
所以我们返回 2 。

提示：

• m == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= m, n <= 12
• matrix[i][j] 要么是 0 要么是 1
• 1 <= numSelect <= n

分析

1. 首先从提示和题目中我们可以得到，总共有m行和n列，matrix[i][j]=0或matrix[i][j]=1
2. 我们需要从n列当中选出numSelect列，numSelect是输入的，小于等于n
3. S = C _n^numSelect：从n列中选出numSelect列可以用前面这个符号表示。如果某i行满足下面两个条件：
   • 该行是全0。
   • 对于i行而言，值是1的列，全在S（从n列中选出numSelect列的集合）中。
4. 我们称第i行是被覆盖的。
5. 我们需要从矩阵中选出 numSelect 个列，形成集合，使集合覆盖的行数最大化。

从n列中选出numSelect列，是一个组合问题
n最大值为12，所以可得最多也只会有C(12, 6) = 12! / (6! * (12-6)!) = 12! / (6! * 6!) = 924中组合。
C(n,m)从n中选m个，在m=n/2时值最

编码

枚举C(n,numSelect)

直接枚举col集合可能出现的情况。

首先我们需要枚举C(n,numSelect)可能出现的情况。

我们使用一个集合来存储，因为列号是不可能重复的：

HashSet<Integer> col = new HashSet<>();

排列组合均可以使用递归进行实现：

1. 递归出口：当col集合的大小和numSelect一样大时，终止
2. 递归结构：不断地从n列出选出一列，加入到col集合当中。
   • 并且选出来的这列是不存在col集合当中的。
   • 并且需要回溯，回溯看下面具体代码。

public void getNumSelectSet(int numSelect,int n){
        if(numSelect== col.size()){
          return ;
        }
        /*
         假设numSelect = 4 n=10
         假设一次执行下去第一个满足条件的集合0 1 2 3 抵达递归出口返回
         下一次满足条件的应该是是0 1 2 4 但是实际上col内容：0 1 2 3 4 （因为3从来不曾弹出来）
         所以在每一层递归结构当中需要回溯一下即某个递归分支完成后，就把其对应的数据remove()
         例如加入第3列 col.add(3)，该分支递归完成后 col.remove(3)
        */
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if(!col.contains(i)){
                col.add(i);
                getNumSelectSet(numSelect,n);
                col.remove(i); //回溯
            }
           
        }
    }

我们在得到col集合之后，怎么判断得到的集合能否覆盖matrix的某一行呢？

计算覆盖

col集合可以覆盖matrix的某一行说明，matrix[i]中所有是1的列（即i,下标index）都在col中。

举例：

总共有5(n)列 从中选出4(numSelect)列 
matrix[i1]=[1,1,0,1,1]
matrix[i2]=[1,1,0,0,0]
假设col1集合=[0,2,3,4] 选出的是0，2，3，4列，明显无法覆盖matrix[i1]的第1列（实际上是第2列，因为是数组下标减1）
假设col2集合=[0,1,3,4] 明显可以覆盖matrix[i2](只有第0列和1列有1)

我们知道列数是小于等于12的。

我们完全可以用12位二进制数表达这12列。

上面的例子我们就可以用5位二进制表示

col1 = [0,2,3,4] =>选中0，2，3，4列 => binCol1 = 1 1 1 0 1
matrix[i1]=[1,1,0,1,1] =>第0 1 3 4都是1 => binNum1 = 1 1 0 1 1

col2 = [0,1,3,4] => binCol2 = 1,1,0,1,1 
matrix[i2]=[1,1,0,0,0]=>binNum2= 0 0 0 1 1

matrix[i]对应的二进制数就是其本身

当col集合可以覆盖matrix[i]时。col集合对应的二进制数和matrix[i]对应的二进制数相与是 等于martrx[i]对应的二进制数本身的。

例如`binNum2&binCol2=binNum2

计算matrix每一行对应的二进制数

可以用int数值来表示二进制数值，第i列为1，就代表int从低位（从0）到高位的低i位是1

ArrayList<Integer> status = new ArrayList<>();
for (int[] ints : matrix) {
    int state = 0;
    for (int i = 0; i < ints.length; i++) {
        if(ints[i]!=0){
            state+=(1<<i);
        }
    }
    status.add(state);
}

计算col集合二进制数

计算方法和上面类似

int state = 0;
for (Integer integer : col) {
    state+=(1<<integer);
}

计算覆盖行数

status是matrix每一行对应的二进制数的数组

state是col集合对应的二进制数

计算得到count值。

int count = 0;
for (Integer integer : status) {
    if((integer&state)==integer){
        count++;
    }
}

暴力破解代码

根据上面的分析可以得到下代码

代码

class Solution {
    ArrayList<Integer> status = new ArrayList<>();
    public int maximumRows(int[][] matrix, int numSelect) {
        int m  = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;
        for (int[] ints : matrix) {
            int state = 0;
            for (int i = 0; i < ints.length; i++) {
                if(ints[i]!=0){
                    state+=(1<<i);
                }
            }
            status.add(state);
        }
        getNumSelectSet(numSelect,n);
        return max;
    }
    HashSet<Integer> col = new HashSet<>();
    int max = 0;

    public void getNumSelectSet(int numSelect,int n){
        if(numSelect== col.size()){
            int state = 0;
            for (Integer integer : col) {
                state+=(1<<integer);
            }
            int count = 0;
            for (Integer integer : status) {
                if((integer&state)==integer){
                    count++;
                }
            }
            max = Math.max(count,max);
            return ;
        }
        //假设m等于10
        //0,1,2,3
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if(!col.contains(i)){
                col.add(i);
                getNumSelectSet(numSelect,n);
                col.remove(i); //回溯
            }
           
        }
    }
}

直接提交我们可以发现超时了。

原因如下

1. 假设n=10，numSelect=4
2. 在递归过程中，col会出现在递归过程中因为回溯回产生[0,1,2,3]和[1,0,2,3];[0，1，2，9]和[9,0,1,2]等情况。
3. 因为回溯，每个递归分支结束之后对应的列号都会被remove。例如加入第9列之前，此时集合是空的，导致重复

减枝

1. [0,1,2,3]和[1,0,2,3]这种情况的产生，是因为，我们每次尝试加入列都是从0开始。
   现在修改为从上一列的下一列开始。
2. [0，1，2，9]和[9,0,1,2]这种情况。基于1的减枝规则我们可以发现，当下标index>n-numSelect时，col集合的大小是永远不可能等于numSelect的。
   所以此时我们直接结束循环即可。

class Solution {
    public int maximumRows(int[][] matrix, int numSelect) {
        int n = matrix[0].length;
        for (int[] ints : matrix) {
            int state = 0;
            for (int i = 0; i < ints.length; i++) {
                if(ints[i]!=0){
                    state+=(1<<i);
                }
            }
            status.add(state);
        }
        getNumSelectSet(numSelect,n,0);
        return max;
    }
    ArrayList<Integer> status = new ArrayList<>();
    HashSet<Integer> col = new HashSet<>();

    int max = 0;

    //多加入一个参数index进行减枝
    public void getNumSelectSet(int numSelect,int n,int index){
        if(numSelect== col.size()){
            int state = 0;
            for (Integer integer : col) {
                state+=(1<<integer);
            }
            int count = 0;
            for (Integer integer : status) {
                if((integer&state)==integer){
                    count++;
                }
            }
            max = Math.max(count,max);
            return ;
        }
        if(index==n) return ;
        //假设m等于10
        //0,1,2,3
        for (int i = index; i < n; i++) {
            if(col.size()==0&&i>n-numSelect) break;//减枝
            if(!col.contains(i)){
                col.add(i);
                getNumSelectSet(numSelect,n,i+1);
                col.remove(i); //回溯
            }

        }
    }
}

提交代码发现通过了。

那么还有没有更快的方法呢？

我们可以看到col集合是用集合来存储的，在最终找到合法的col集合时计算state

int state = 0;
for (Integer integer : col) {
    state+=(1<<integer);
 }

这个过程完全可以用位运算来完成：

假设现在用col（int类型的数）来代表选择过的列会有如下等式

1. col.size()=>col==0
2. !col.contains(i) => col&(1<

位运算

1. 原本的列号集合直接用col数值替代
2. 用depth变量，代表当前选中了几个列
3. depth==numSelect说明找到一个合法的col

class Solution {
public int maximumRows(int[][] matrix, int numSelect) {
        int n = matrix[0].length;
        for (int[] ints : matrix) {
            int state = 0;
            for (int i = 0; i < ints.length; i++) {
                if(ints[i]!=0){
                    state+=(1<<i);
                }
            }
            status.add(state);
        }
        getNumSelectSet(numSelect,n,0,0,0);
        return max;
    }
    ArrayList<Integer> status = new ArrayList<>();

    int max = 0;

    //递归暴力计算
    public void getNumSelectSet(int numSelect,int n,int index,int col,int depth){
        if(numSelect==depth){
            //Integer.bitCount(col)可以使用这个来代替
            int count = 0;
            for (Integer integer : status) {
                if((integer&col)==integer){
                    count++;
                }
            }
            max = Math.max(count,max);
            return ;
        }
        //假设m等于10
        //0,1,2,3
        for (int i = index; i < n; i++) {
            if(col==0&&i>n-numSelect) break;
            int bC = (1<<i);
            if((col&bC)==0){
                col+=bC;
                depth++;
                getNumSelectSet(numSelect,n,i+1,col,depth);//优化后的代码
                col-=bC;
                depth--;
            }

        }
    }
}

结果：

交流

qq群：