高中奥数 2021-12-03

2021-12-03-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 向量的内积 P036 例题3）

有7个向量,其中任意3个向量之和的长度都与其余4个向量之和的长度相等,求证:这7个向量的和是零向量.

分析与解

将这7个向量记为、、、,和为.

设,

有,则

即,

累加得,

即,得,即,证毕.

2021-12-03-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 向量的内积 P036 例题4）

如图,求证:圆内接四边形的两组对边和的交角平分线与和的交角平分线互相垂直.

图1

分析与解

设、交于,、交于,取、、、方向上单位向量分别为、、、,则

而,,

所以,.

于是.

设为和的交点,则、分别平分和与同向,与同向,所以,.

所以,因此,证毕.