简聊卡方统计

1. 简介
   卡方检验是一种用途非常广泛的假设检验方法，在统计推断中使用非常多，可以检测多个分类变量之间的相关性是否显著。

2. 基本原理
   卡方检验就是统计样本的实际观测值和理论推断值之间的偏离程度，如果chi-square值越大，二者偏差程度越大；反之，二者偏差越小。若chi-square为0，表明理论和实际值完全符合，完全相关。

3. 原型

1） 提出假设
H0： 总体X的分布律为P{X=xi}=pi，i=1，2，...

2）将总体X的取值范围分成k个互不相交的小区间A1，A2，A3，…，Ak，如可取：
A1=（a0，a1]，A2=(a1，a2]，...，Ak=(ak-1,ak)，

其中：
i. a0可取-∞，ak可取+∞，区间的划分视具体情况而定
ii. 每个小区间所含的样本值个数不小于5
iii. 区间个数k适中

3）把落入第i个小区间的Ai的样本值的个数记作fi， 所有组频数之和f1+f2+...+fk等于样本容量n。

4）当H0为真时，根据所假设的总体理论分布，可算出总体X的值落入第i 个小区间Ai的概率pi，于是，npi就是落入第i个小区间Ai的样本值的理论频数（理论值）。

5）当H0为真时，n次试验中样本值落入第i个小区间Ai的频率fi/n与概率pi应很接近，当H0不真时，则fi/n与pi相差很大。

6）基于上面想法，引入下面统计量：

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，便得到了在H0假设成立的情况下服从自由度为k-1的卡方分布。

4. 四表格法
   四表格法是一种检验方法，主要检测两个分类变量X和Y，他们的值域分别为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为：

   
   
   image.png

按照上面原型：
1） 提出假设H0：X与Y有关系
2）计算chi-square值， chi-square值越大说明X与Y偏离程度越大，X与Y就相关性就越小，也就是越不相关。

可以查阅下表，来确定X与Y是否有关系的可信度：

image.png

在上表中：
i. F代表自由度， 在表格中自由度v=（行数-1）（列数-1） ，所以四表格中，行数=列数=2，所以四表格中自由度v=1

ii. 显著水平α为第一行绿色部分。代表的二者的相关程度
iii. 从第二行，第二列起，每个值代表计算出来的chi-square值。

举例当F=1时， P(chi > 6.64) = 0.01 , 表示当chi方值>6.64的时候，相关的概率为0.01. 也就是相关的可信度是0.01。 不相关的可信度是0.99

5. 举例

   
   
   image.png

其中，每个格子的数是由该公式计算的：55=100*110/200。

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而 P(chi >10.828) = 0.001， 所以P(chi >129.3) < 0.001

原假设是二者没有关系，但是现在落到拒绝域了， 也就是二者没关系的概率小于0.001.有关系的概率大于0.999.

6. 一张图直接理解

   
   
   image.png

一般我们会说显著水平α，然后给出假设：
H0: 假设一定是符合接受域的假设。如上面，我们假设化妆和性别没有关系，也就是按照此假设认为计算出来的chi2值会很小，也就是接受域里的。
（支持这个假设成立的条件是， 实际的概率要大于α，也及时实际chi-square要落在左侧）

接下来就是，推理这个假设是否成立：
1） 显著水平α给定后，在自由度固定的条件下，其chi-square值k是固定的，即

   P(chi >k) =α， 通过查表可得，这是理论值。 

2） 计算实际chi-square值
当我们算出的实际chi-square值 > k时，就落在右边区域，即实际相关的概率要小于α，也就是也就是落在了拒绝H0区域。
反之， 当我们计算出来的chi-square值