理论U3 决策树

一、决策树算法

1、基本思想

基本思想：采用自顶向下的递归方法，（以信息熵为度量）构造一棵（熵值下降最快的）树，（到叶子节点处的熵值为零）此时每个叶节点中的实例都属于同一类

2、构成

决策树是一种树型结构，由结点和有向边组成

1）节点

1. 内部结点表示一个属性或特征
2. 叶结点代表一种类别

3）有向边/分支

分支代表一个测试输出

3、分类步骤

1）第1步-决策树生成/学习、训练

利用训练集建立(并精化)一棵决策树，建立决策树模型。这个过程实际上是一个从数据中获取知识，进行机器学习的过程

step 1：选取一个属性作为决策树的根结点，然后就这个属性所有的取值创建树的分支。
step 2：用这棵树来对训练数据集进行分类：

1. 如果一个叶结点的所有实例都属于同一类，则以该类为标记标识此叶结点。
2. 如果所有的叶结点都有类标记，则算法终止
   step 3：否则，选取一个从该结点到根路径中没有出现过的属性为标记标识该结点，然后就这个属性所有的取值继续创建树的分支；重复算法步骤step 2

2）第2步-分类/测试

利用生成的决策树对输入数据进行分类。对输入的记录，从根结点依次测试记录的属性值，直到到达某个叶结点，从而找到该记录所在的类。

4、算法关键

建立决策树的关键，即在当前状态下选择哪个属性作为分类依据

目标：每个分支节点的样本尽可能属于同一类别，即节点的“纯度”(purity)越来越高；最具区分性的属性！
根据不同目标函数，建立决策树主要有以下三种算法
◼ ID3： 信息增益
◼ C4.5： 信息增益率
◼ CART：基尼指数

二、信息论基础

1、概念

信息论与概率统计中，熵表示随机变量不确定性的大小，是度量样本集合纯度最常用的一种指标

2、信息量

信息量：具有确定概率事件的信息的定量度量
定义：$I(x)=-lo{g}_{2}p(x)$ 其中p(x)为事件x发生的概率

3、信息熵：

事件集合的信息量的平均值。
定义：$H(x)={\sum }_{i}h(x_i)={\sum }_{i}p(x_i)I(x_i)=-{\sum }_{i}p(x_i)lo{g}_{2}p(x_i)$

熵定义了一个函数(概率密度函数pdf)到一个值(信息熵)的映射

$p(x)\to H$ (函数→数值)

熵是随机变量不确定性的度量：
◼ 不确定性越大，熵值越大
◼ 若随机变量退化成定值，熵为0

二、ID3 (Iterative Dichotomiser 3)算法

ID3算法是一种最经典的决策树学习算法。

1、基本思想：

以信息熵为度量，用于决策树节点的属性选择，每次优先选取信息增益最大的属性，亦即能使熵值变为最小的属性，以构造一颗熵值下降最快的决策树，到叶子节点处的熵值为0。此时，每个叶子节点对应的实例集中的实例属于同一类。

熵值下降 → 无序变有序

2、熵引入

1）经验熵

假设当前样本集合D 中第c（c=1,2,…,C）类样本所占比例为$p_c$（c=1,2,…,C），则D 的经验信息熵(简称经验熵）定义为:

$H(D)=-{\sum }_{c=1}^C{p}_{c}lo{g}_2{p}_c=-{\sum }_{c=1}^C\frac{D_c}{D}lo{g}_2\frac{D_c}{D}$

H(D)的值越小，则D 的纯度越高

2）条件熵

对随机变量$(X,Y)$，联合分布为：$p(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij}$

条件熵 $H(Y|X)$ 表示在已知随机变量X 的条件下，随机变量Y的不确定性：

$H(Y|X)=-{\sum }_{i=1}^n{p}_{i}H(Y|X=x_i)$

可证明：条件熵(Y|X)相当于联合熵(,)减去单独的熵(X)，即
$H(Y|X)=H(X,Y)-H(X)$

3）经验条件熵

即特征a的信息对样本D 的信息的不确定性减少的程度

4）信息增益（information gain）

特征 a 对训练数据集 D 的信息增益 $G(D,a)$ ，定义为集合D 的经验熵 H(D) 与特征 a 给定条件下 D 的经验条件熵 $H(D|a)$ 之差，即
$G(D,a)=H(D)-H(D|a)=H(D)-{\sum }_{n=1}^N\frac{D^n}{D}H(D^n)$

ID3算法即是以此信息增益为准则，对每次递归的节点属性进行选择的

3、算法

4、算法案例

5、算法特点

最大优点是，它可以自学习：在学习的过程中，不需要使用者了解过多背景知识，只需要对训练实例进行较好的标注，就能够进行学习。

决策树的分类模型是树状结构，简单直观，比较符合人类的理解方式。

可将决策树中到达每个叶节点的路径转换为IF—THEN形式的分类规则，这种形式更有利于理解。

从一类无序、无规则的事物(概念)中推理出决策树表示的分类规则。

三、ID3算法问题

信息增益偏好取值多的属性(分散，极限趋近于均匀分布)

1、 属性筛选度量标准

可能会受噪声或小样本影响，易出现过拟合问题。
结果训练出来的形状是一棵庞大且深度很浅的树，这样的划分是极为不合理的。
改进方法：

2、 剪枝处理

1）问题

无法处理连续值的属性。

决策树对训练数据有很好的分类能力，但对未知的测试数据未必有好的分类能力，泛化能力弱，即可能发生过拟合现象。

训练数据有噪声，对训练数据拟合的同时也对噪音进行拟合，影响了分类效果。

叶节点样本太少，易出现耦合的规律性，使一些属性恰巧可以很好地分类，但却与实际的目标函数并无关系。

2）解决

剪枝是决策树学习算法中对付“过拟合”的主要手段

1. 预剪枝策略（pre-pruning）：
   决策树生成过程中，对每个节点在划分前进行估计，若划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止划分，并将该节点设为叶节点
   优点：预剪枝“剪掉了”很多没必要展开的分支，降低了过拟合的风险，并且显著减少了决策树的训练时间开销和测试时间开销
   劣势：有些分支的当前划分有可能不能提高甚至降低泛化性能，但后续划分有可能提高泛化性能；预剪枝禁止这些后续分支的展开，可能会导致欠拟合

2. 后剪枝策略（post-pruning）：
   先利用训练集生成决策树，自底向上对非叶节点进行考察，若将该叶节点对应子树替换为叶节点能带来泛化性能提升，则将该子树替换为叶节点
   优点：优势：测试了所有分支，比预剪枝决策树保留了更多分支，降低了欠拟合的风险，泛化性能一般优于预剪枝决策树。
   劣势：后剪枝过程在生成完全决策树后在进行，且要自底向上对所有非叶节点逐一评估；因此，决策树的训练时间开销要高于未剪枝决策树和预剪枝决策树

3）案例

预剪枝算法


后剪枝算法

3、 连续值处理

无法处理属性值不完整的训练数据

基本思想：采用二分法(bi-partition)进行离散化

4、 缺失值处理

无法处理不同代价的属性
前面假设：所有样本的属性完整
实际情况：存在不完整样本：即样本的某些属性缺失；特别是属性数目较多时
如果简单放弃不完整样本，会导致数据信息的浪费
实际中确实需要属性缺失情况下进行决策
◼ 不同代价属性的处理
需要解决的两个问题

1. 如何在属性值缺失的情况下进行划分属性选择（计算信息增益）？
   
   
   
2. 给定划分属性，若样本在该属性上的值缺失，如何对样本进行划分？
   
   案例：
   
   
   
   
   

5、不同代价属性的处理

不同的属性测量具有不同的代价
在属性筛选度量标准中考虑属性的不同代价
优先选择低代价属性的决策树
必要时才依赖高代价属性