浅谈整数拆分的四种方法

DP

• 对于拆分为$<=\sqrt{n}$部分，直接背包，对于$>\sqrt{n}$的部分由于最多只有$\sqrt{n}$个，因此可以记$f[i][j]$表示用了$i$个数，当前总和为$j$，转移$f[i][j]=f[i-1][j-\sqrt{n}]+f[i][j-i]$，之后合并即可。

五边形数

• 有$\varphi (x)=\prod (1+x^i)=1+{\sum }_{i>0}(-1{)}^i(x^{i(3i-1)/2}+x^{i(3i+1)/2})$，答案的生成函数为$\frac{1}{\varphi (x)}$，因此可以直接暴力求逆，复杂度$n\sqrt{n}$，如果用多项式求逆就可以做到$nlogn$.

F图

• 即将拆分方案的数写成一个阶梯，考虑阶梯角的最大正方形的边长为$h$，那么剩下两边分为两个子阶梯，直接枚举$h$，那么方案数就是${\sum }_h({\prod }_{i=1}^h\frac{1}{(1-x^i)}{)}^2$，$h$是$\sqrt{n}$级别的，每一次乘上两个$\frac{1}{1-x^h}$即可。

Exp

• 虑$ln(\frac{1}{1-x^k})={\sum }_{i\ge 1}\frac{x^{ik}}{i}$（求导推知），那么$ln(Ans(x))={\sum }_{k}ln(\frac{1}{1-x^k})$，对于每一个$k$有值的只有$n/k$项，暴力求出$ln(Ans(x))$之后直接exp即可。