哈密顿路及竞赛图
定理1：n(n>=2)阶竞赛图一定存在哈密顿通路
证明转载自http://web.nuist.edu.cn/courses/lssx/longtime/part4/chapter15/15_02_03_02.htm
证 对n作归纳法。n=2时，D的基图为K2，结论成立。设n=k时结论成立。现在设n=k+1.设V(D)={v1,v2,…,vk,vk+1}。令D1=D-vk+1，易知D1为k阶竞赛图，由归纳假设可知，D1存在哈密顿通路，设Г1=v'1v'2…v'k为其中一条。下面证明vk+1可扩到Г1中去。若存在v'r（1≤r≤k），有<v'i,vk+1>∈E(D)，i=1,2,…,r-1，而<vk+1,v'r>∈E(D)，见图15.8（1）所示，则Г=v'1v'2…v'r-1vk+1v'r…v'k为D中哈密顿通路。否则，i∈{1,2,…,k}，均有<v'i,vk+1>∈E(D)，见下图所示，则Г=Г'∪<v'k,vk+1>为D中哈密顿通路。
证明了这个定理后问题就简单了。可以依次从1~N遍历所有的点。当v=1时成立。之后根据上述定理，每次循环开始时都维持着一条哈密顿路，直到循环结束。具体实现可以用链表来模拟。
另：
无向图中存在哈密顿路的充要条件：
定理2 设G是n阶无向简单图，若对于G中任意不相邻的顶点vi,vj，均有
d(vi)+d(vj)≥n-1 (15.1) 则G中存在哈密顿通路。
推论 设G为n(n≥3)阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vi,vj，均有
d(vi)+d(vj)≥n (15.2)则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图。
例题：例15.5 在某此国际会议的预备会议中，共有8人参加，他们来自不同的国家。已知他们中任何两个无共同语言的人中的每一个，与其余有共同语言的人数之和大于或等于8，问能否将这8个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。
解：解 设8个人分别为v1,v2,…,v8，作无向简单图G=<V,E>，其中V={v1,v2,…,v8}，
vi,vj∈V，且i≠j，若vi与vj由共同语言，就在vi,vj之间连无向边（vi,vj），由此组成边集合E，则G为8阶无向简单图， vi∈V，d(vi)为与vi有共同语言的人数。由已知条件可知，vi,vj∈V且i≠j，均有d(vi)+d(vj)≥8.由推论可知，G中存在哈密顿回路，设C=
为G中一条哈密顿回路，按这条回路的顺序安排座次即可。