复高斯分布的概率密度函数 probability distribution functions (PDFs)

服从复高斯分布的单个标量的pdf

复高斯分布（Complex Gaussian Distribution）是一种描述复数随机变量的概率分布。对于一个复随机变量 ( Z )，其复高斯分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）通常表示为：

[ $f_Z(z)=\frac{1}{\pi {\sigma }^2}{e}^{-\frac{|z-\mu {|}^2}{{\sigma }^2}}$ ]

其中：

• ( $z$ ) 是复随机变量。
• ( $\mu$ ) 是复高斯分布的均值。
• ( ${\sigma }^2$ ) 是复高斯分布的方差。
• ( $|z-\mu {|}^2$ ) 表示复数 ( z-\mu ) 的模的平方。

需要注意的是，这里的复数 ( $z$ ) 和 ( $\mu$ ) 是复平面上的值。这样定义的复高斯分布是二维的，包括实部和虚部。

对于一维的复高斯分布，即只考虑实部或虚部的情况，概率密度函数会略有不同，但整体形式仍然类似。

服从复高斯分布的向量的pdf

如果一个向量 ( $\mathbf{Z}$ ) 的每个元素都服从复高斯分布，那么整个向量 ( $\mathbf{Z}$ ) 的概率密度函数可以通过各个元素的概率密度函数的乘积来表示。

假设 ( $\mathbf{Z}$ ) 是一个包含 ( $N$ ) 个元素的复向量，其中每个元素 ( $Z_i$ ) 都是复高斯分布的随机变量。那么，( $\mathbf{Z}$ ) 的概率密度函数可以表示为：

[ $f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})={\prod }_{i=1}^N{f}_{Z_i}(z_i)$ ]

其中：

• ( $\mathbf{z}$ ) 是复向量 ( $\mathbf{Z}$ ) 的一个具体取值。
• ( $f_{Z_i}(z_i)$ ) 是第 ( $i$ ) 个元素 ( $Z_i$ ) 的复高斯分布概率密度函数。

这个表示假设各个元素之间是相互独立的。这种情况下，整个复向量的概率密度函数就是各个元素概率密度函数的乘积。

服从复高斯分布的矩阵的pdf

如果你希望考虑一个矩阵的情况，其中每个元素都是复高斯分布的随机变量，你可以采用类似的思路。

假设矩阵 ( $\mathbf{Z}$ ) 是一个 ( $M\times N$ ) 复矩阵，其中每个元素 ( $Z_{ij}$ ) 是一个复高斯分布的随机变量。那么，整个矩阵 ( $\mathbf{Z}$ ) 的概率密度函数可以表示为各个元素概率密度函数的乘积。这是基于独立同分布的假设，即矩阵的各个元素之间是相互独立的。

[ $f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z})={\prod }_{i=1}^M{\prod }_{j=1}^N{f}_{Z_{ij}}(z_{ij})$ ]

其中：

• ( $\mathbf{z}$ ) 是复矩阵 ( $\mathbf{Z}$ ) 的一个具体取值。
• ( $f_{Z_{ij}}(z_{ij}$) ) 是矩阵中的每个元素 ( $Z_{ij}$ ) 的复高斯分布概率密度函数。

需要注意的是，这种表示假设矩阵的各个元素是相互独立的，这在某些情况下可能不符合实际情况。如果矩阵的元素之间存在相关性，那么概率密度函数的表示可能会更为复杂。

例子

Robust Beamfocusing for FDA-Aided Near-Field
Covert Communications With Uncertain Location
2023 IEEE ICC

Let $\left(D_{\mathrm{w}},{\theta }_{\mathrm{w}}\right)$ denote the location of Willie. We assume Willie is synchronized with Alice with the full knowledge of the carrier frequencies, and the channel vector ${\mathbf{h}}^H\left(D_{\mathrm{w}},{\theta }_{\mathrm{w}}\right)$ . This is the worst case for legitimate nodes to analyze the lower bound of covert communications performance. The hypothesis test at Willie is given by

$$\{\begin{array}{l}{\mathcal{H}}_0:y_{\mathrm{w}}^{(n)}=z_{\mathrm{w}}^{(n)},\\ {\mathcal{H}}_1:y_{\mathrm{w}}^{(n)}={\mathbf{h}}_{\mathrm{w}}^H\mathbf{w}{s}^{(n)}+z_{\mathrm{w}}^{(n)},\end{array}$$

where ${\mathbf{h}}_{\mathrm{w}}^H$ is short for ${\mathbf{h}}^H\left(D_{\mathrm{w}},{\theta }_{\mathrm{w}}\right)$ , and $z_{\mathrm{w}}^{(n)}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}\left(0,{\sigma }_{\mathrm{w}}^2\right)$ is the AWGN at Willie with noise power ${\sigma }_{\mathrm{w}}^2$ . From (5), the probability distribution functions (PDFs) of ${\mathbf{y}}_{\mathrm{w}}={\left[y_{\mathrm{w}}^{(1)},y_{\mathrm{w}}^{(2)},\dots ,y_{\mathrm{w}}^{(N)}\right]}^T$ under ${\mathcal{H}}_0$ and ${\mathcal{H}}_1$ can be derived as

$${\mathbb{P}}_0\triangleq \mathbb{P}\left({\mathbf{y}}_{\mathrm{w}}\mid {\mathcal{H}}_0\right)=\frac{1}{{\pi }^N{\sigma }_{\mathrm{w}}^{2N}}{e}^{-\frac{{\mathbf{y}}_{\mathrm{w}}^H{\mathbf{y}}_{\mathrm{w}}}{{\sigma }_{\mathrm{w}}^2}}$$

and：

$${\mathbb{P}}_1\triangleq \mathbb{P}\left({\mathbf{y}}_{\mathrm{w}}\mid {\mathcal{H}}_1\right)=\frac{1}{{\pi }^N{\left({\left|{\mathbf{h}}_{\mathrm{w}}^H\mathbf{w}\right|}^2+{\sigma }_{\mathrm{w}}^2\right)}^N}{e}^{-\frac{{\mathbf{y}}_{\mathrm{w}}^H{\mathbf{y}}_{\mathrm{w}}}{{|{\mathbf{h}}_{\mathrm{w}}^H|}^2+{\sigma }_{\mathrm{w}}^2}}$$