TA百人计划学习笔记 1.2.2数学 矩阵

• 资料
  • 源视频 【技术美术百人计划】图形 1.2.2 矩阵运算_哔哩哔哩_bilibili
  • ppt 1320_2TA_百人计划_矩阵运算_XerPhong
  • 参考笔记 1.3 数学基础 —— 矩阵计算 · 语雀
• 目录

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• 引入
  • 线性方程，线性空间
    • 线性计算
      • 线性方程
        • 定义
          • 可加性
            • f（x1 + x2）= f（x1）+f（x2）
          • 比例性
            • f（kx）= kf（x）
    • 几何变换
      • 线性空间
        • 定义
          • 直线变换后依然是直线
          • 等距
          • 坐标原点保持不变
        • 源： 【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibili
      • 非线性空间
        • 定义
          • 空间扭曲
          • 不是等距
          • 坐标原点有位移
        • 源： 【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibili
• 矩阵
  • 矩阵的历史

    • 

      

      • 理解：
        • 标准坐标系的单位向量
          • X轴（1，0）Y轴（0，1）
        • 新坐标系的单位向量
          • X轴（2，1）Y轴（3，1）
      • 动态示意

        

  • 什么是矩阵
    • 定义

      • 

    • 特殊的矩阵

      • 

  • 矩阵的运算
    • 加减法
      • 定义

        • 

      • 几何意义
        • 对单位向量的一个变换

          • 

      • 条件：相同矩阵之间相加减
    • 数乘
      • 定义

        • 

      • 几何意义
        • 空间的缩放

          • 

    • 乘法
      • 定义

        • 

        • 运算方法

          • 

      • 点积

        

      • 几何意义
        • 变换

          

          • 1
            • 一个矩阵叉乘另一个矩阵，得到的还是一个矩阵，但是这个矩阵在图形学上被称作变换矩阵
            • 即 一个图形 进行 移动 + 旋转 + 缩放得到的是这个图形的变换矩阵，到最后这个样子需要将图形的原矩阵乘以变换矩阵
          • 2
            • 一个矩阵与一个列向量相乘，得到的是我们想要的最后结果，即这个顶点变换之后的坐标
        • 复合变换

          

          • 计算顺序

            • 

            • 意义
              • 实际开发
                • 不可能只单单对一个物体进行单个变换（移动，旋转，缩放），往往是图形的复合变换，即包括图形的移动，旋转，缩放。
                • 矩阵相乘的一个好处，可以除了最右边的向量不进行计算，先把左边的旋转，移动，缩放等先计算得到一个最终的变换矩阵，这时我们再拿最右边的向量与这个最终变换矩阵相乘得到最终结果
          • 不是满足所有乘法运算规律
            • 交换律-不一定
              • 数乘满足
                • k(AB)=K(A)B=A(kB)
              • 乘法不一定
                • 理解
                  • A＊B＊C　=！　A＊C＊B
                • 当与特殊矩阵进行计算的时候可能满足，比如与单位矩阵相乘
                • 几何意义
                  • 矩阵的相乘是由顺序的，一般是先进行移动，再进行旋转，最后缩放
            • 结合律-满足
              • （AB）C=A(BC)
            • 分配律 -满足
              • A(B+C)=AB=AC
        • 二维空间

          • 

          • 旋转矩阵

            • 

              

          • 位移矩阵
            • 原点发生了变换

              

        • 三维空间

          

          •  
            • 旋转矩阵的旋转顺序
              • Z－X－Y
    • 转置
      • 定义
        • T：transpose

          

        • 

      • 性质

        • 

           

          • 

      • 注意
        • unity的存储是以列优先
    • 逆
      • 可逆矩阵
        • 定义
          • 矩阵＊逆矩阵＝单位矩阵

            • 

            • 单位矩阵　对角为１其他为０
        • 计算

          • 

        • 运算规律

          • 

      • 不可逆矩阵
        • 定义
          • 矩阵的行列式为0(|A|=0，或者说矩阵不满秩）的时候，则矩阵A不可逆
        • 判断
          • 1. 行列式判断法：计算矩阵的行列式，如果行列式的值不等于零，则矩阵可逆；如果行列式的值等于零，则矩阵不可逆。
          • 2. 秩判断法：计算矩阵的秩，如果矩阵的秩等于其维度（即满秩），则矩阵可逆；如果矩阵的秩小于其维度，则矩阵不可逆。
          • 3. 定义法：若存在一个矩阵B，使矩阵A使得AB=BA=E，则矩阵A可逆，且B是A的逆矩阵。
          • 4. 线性相关性判断法：矩阵是否可逆的本质就是矩阵中的各列/各行是否线性相关，只要线性相关，肯定不可逆。
• 参考资料

  • 

  • 大佬的展示软件
    • houdini