不动点定理 课程分享15 2022-07-31

不动点定理    课程分享15

       这是通识选修课《经济研究中的计算方法》第六讲的主要课例。一方面，它在经济学研究中有所应用；另一方面，它是计算方法中解高次方程迭代法的理论基础。

一、不动点定理

       对于空间X到X自身的映射f，满足f（x）＝x的点x∈X，被称为f的不动点。起源于求解方程的代数问题，后转化为几何理论中研究不动点的存在、个数、性质与求法的理论，成为拓扑学和泛函分析中的重要内容。

       较早的不动点定理是压缩映射原理，1890年由法国数学家皮卡提出，后为波兰数学家巴拿赫（1922）所发展，成为许多方程的解的存在性、唯一性及迭代解法的理论基础。

       1910年荷兰数学家布劳威尔证明了多面体的不动点定理：设X是欧氏空间中的紧凸集，则X到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。这个定理被称为布劳威尔不动点定理。

二、布劳威尔

       布劳威尔（Brouwer），荷兰数学家。1881年2月27日生于荷兰的奥弗希，1966年12月2日于布拉里克姆去世。1904年毕业于阿姆斯特丹大学。后在G.曼诺利的影响下，开始接触拓扑学和数学基础。1912年为阿姆斯特丹大学教授，同年为荷兰皇家科学院院士。他强调数学直觉，坚持数学对象必须可以构造，被视为直觉主义的创始人和代表人物。

布劳威尔

       1926年美国数学家莱夫谢茨发展了布劳威尔的定理，得到不动点指数中的莱夫谢茨不动点定理。1913年，G．D．伯克霍夫证明了前一年法国数学家庞加莱关于三体问题的一个猜想，得到庞加莱－伯克霍夫不动点定理。G．D．伯克霍夫还与另一美国数学家凯洛格于1922年共同把不动点定理推广到无穷维函数空间，并应用于证明微分方程解的存在性。

       1930年波兰数学家绍德尔将布劳威尔不动点定理推广到线性赋范空间中的凸紧集、巴拿赫空间中的凸紧集等到自身的映射上，得到绍德尔不定点定理。1935年原苏联数学家吉洪诺夫将布劳威尔的结果推广到局部凸拓扑线性空间中凸紧集到自身的映射上，得到吉洪诺夫不动点定理。    

三、应用

       不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。例如，关于代数方程的基本定理，要证实f(x)=x必有一根，只须证实在适当大的圆内函数f(x)有一不动点即可。

       在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证实非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。

       经济学不动点理论或者均衡理论使得经济学可以数量化。经济学家证实了供销平衡点的存在，就是一个平衡点可以使得所有买卖的商人都满足，也就是说获得帕累拖最优效应。为此有两位经济学家获得了诺贝尔奖。

       有学者甚至提出“语言不动点”猜想（甘邦民）。他认为，其实语言学和经济学一样，也涉及了个人行为和集体行为这两种行为研究 ，所以语言学规则与不规则之间应存在不动点。

       比如：语言运用有“重复表示强调率”，也就是如果一个语言单位重复出现，言说主体一定就要强调某样事物，如：

刘亦菲非常美。

刘亦菲非常非常美。

刘亦菲非常非常非常美。

刘亦菲非常非常非常非常美。

刘亦菲非常非常非常非常非常美。

       重复一次我们认为是强调，重复两次我们认为强调意味更强，重复三次我们认为强调意味更加更加强，那么强调到五次甚至六次的时候呢，我们就一定会认为言说者不是结巴，就是傻。所以在我们语言心理接受上也有一个语言心理平衡点，开始“重复表示强调率”逻辑展开，但是随着次数增多，在某一点后，这个规律将不再适用，而是起到相反的效果，虽然每个人对这个点的感觉不尽相同，但是却这个点应该在[4—6次]这个区间当中，这也是概率论的方法准备开始进入语言的时机。

       结论值得商榷，但从方法论看很有意义。

四、学生的发散思维

       某次期末考试中，一学生受此启发，认真写了自己的思考和成果，我给了高分，还抄录下来（图1、图2、图3）。教学相长，共同进步。

图1

图2

图3

15级金融学2班  叶韶能   2017.5.14

       在上到布劳威尔不动点定理的时候，讲到比如用迭代法算时，最后的结果会趋于一个稳定的数值，此时我的脑海中迅速联想到两个很有趣的思考方向。

       第一个方向是卡农中的不动点。在音乐的定义上，卡农是指以不同的调子上下颠倒或从后往前地进行演奏。这里就需要说到卡农的一个基本点，它是建立在一个单一主题与它相伴而奏的。如果我们将一首卡农进行一个彻底的刨析，将不同声调的do re mi fa so mi fa so重复循环，得到最核心的东西就是它所要表达的主题。音乐中的不动点其实与数学上的理论并不是二元对立的，一旦我们认识到这种关系，我们就可以跳跃到另外一个思考方向上。

       另外一个思考方向是哲学上的，最近在读到的一些哲学书籍上有这么一句出自古希腊哲学的话：如果是两个理性而真诚的真理追求者争论问题，争论的结果必然是二人达成一致。换句话说，如果争论不欢而散，那么其中必然有一方是虚伪的。按照我的浅解，如果一个不动点方程最后的计算结果是趋于某一个稳定的数值，那么我们可以说这个探讨过程是正确的，因为这个不动点是客观存在的。如果最后的计算结果错误，那么我们必定在这个计算过程中出现了谬误。更深入了解真理的探讨，在《万万没想到---用理工科思维理解世界》这本书中作者提及了一个观点就是不一致的达成。比如说我们在讨论美国近日会不会攻打朝鲜，我的观点是会，理由1，2，3罗列出来。可是另外一个反对，他的观点是不会，理由1，2，3反驳。这时我就会思考是不是对方掌握了更前沿及时的信息而做出这样的判断，在这种对话博弈中，最后双方达成一致，这与我们在探索不动点的过程中难道不是相似的吗？

       虽然不知道这种思考方向对不对，但我觉得其实很多学科问题都可以进行交叉联系，以此区探寻隐匿在其中的，真正的自然规律。