长方体 二面角：2020年全国卷C题19

长方体 二面角：2020年全国卷C题19

19.（12 分）

如图，在长方体 中，点 分别在棱 上，且

（Ⅰ）证明∶点 在平面 内;

（Ⅱ）若 ，求二面角 的正弦值.

2020年全国卷C

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【解答问题Ⅰ】

∵ 是长方体，

∴ 是矩形.

∵ 是矩形 的对角线，∴ 互相平分，其交点同时是这两条线段的中点；

同理， 的交点同时是这两条线段的中点；

∴ 交于一点；

记该点为 .

∵ , ∴ 且 ,

∴ 是平行四边形,

∴ 相交于 的中点，即点 .

平面 ,

直线 平面

又∵ , ∴ 点 在平面 内. 证明完毕.

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【解答问题Ⅱ：建立坐标系】

以 为原点建立直角坐标系，以 为 轴.

并以 分别代表平面 的法向量；

相关各点坐标如下：

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【解答问题Ⅱ：算法一】

结论：二面角 的正弦值 .

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【解答问题Ⅱ：算法二】

, 所以

, 所以

结论：二面角 的正弦值 .

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【提炼与提高】

「如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内。」

这一命题是立体几何的 『四大公理』 之一。

应用这一公理，结合矩形、平行四边形的性质，问题1不难解答。关键是要表达清楚。

问题2比较适合用向量方法解答。为了避免计算中的失误，可以用两种算法，起到验算的效果。

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