《大话数据结构》笔记——第8章 查找（二）
文章目录
- 8.6 二叉排序树
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- 8.6.1 二叉排序树查找操作
- 8.6.2 二叉排序树插入操作
- 8.6.3 二叉排序树删除操作
- 8.6.4 二叉排序树总结
- 8.7 平衡二叉树（ AVL树 ）
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- 8.7.1 平衡二叉树实现原理
- 8.7.2 平衡二叉树实现算法
声明：
本博客是本人在学习《大话数据结构》后整理的笔记，旨在方便复习和回顾，并非用作商业用途。
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8.6 二叉排序树
假设查找的数据集是普通的顺序存储，那么插入操作就是将记录放在表的末端，给表记录数加一即可，删除操作可以是删除后，后面的记录向前移，也可以是要删除的元素与最后一个元素互换，表记录数减一，反正整个数据集也没有什么顺序，这样的效率也不错。应该说，插入和删除对于顺序存储结构来说，效率是可以接受的，但这样的表由于无序造成查找的效率很低。
如果查找的数据集是有序线性表，并且是顺序存储的，查找可以用折半、插值、 斐波那契等查找算法来实现，可惜，因为有序，在插入和删除操作上，就需要耗费大置的时间。
有没有一种即可以使得插入和删除效率不错，又可以比较高效率地实现查找的算法呢？还真有。
我们在 8.2 节把这种需要在查找时插入或删除的查找表称为动态查找表。我们现在就来看看什么样的结构可以实现动态查找表的高效率。
如果在复杂的问题面前，我们束手无策的话，不妨先从最最简单的情况入手。现在我们的目标是插入和查找同样高效。假设我们的数据集开始只有一个数 {62}，然后现在需要将 88 插入数据集，于是数据集成了 {62,88}，还保持着从小到大有序。再查找有没有 58 ，没有则插入，可此时要想在线性表的顺序存储中有序，就得移动 62 和 88 的位置，如图 8-6-2 左图，可不可以不移动呢？嗯，当然是可以，那就是二叉树结构。当我们用二叉树的方式时，首先我们将第一个数 62 定为根结点， 88 因为比 62 大，因此让它做 62 的右子树，58 因比 62 小，所以成为它的左子树。此时 58 的插入并没有影响到 62 与 88 的关系，如图 8-6-2 右图所示。
也就是说，若我们现在需要对集合{ 62, 88, 58, 47, 35, 73, 51, 99, 37, 93 }做查找，在我们打算创建此集合时就考虑用二叉树结构，而且是排好序的二叉树来创建。如图 8-6-3 所示，62 、88 、58 创建好后，下一个数 47 因比 58 小，是它的左子树（见③），35 是 47 的左子树（见④），73 比 62 大，但却比 88 小，是 88 的左子树（见⑤）， 51 比 62 小、比 58 小、比 47 大，是 47 的右子树（见⑥）， 99 比 62 、 88 都大，是 88 的右子树（见⑦）， 37 比 62 、 58 、 47 都小，但却比 35 大，是 35 的右子树（见⑧）， 93 则因比 62 、 88 大是 99 的左子树（见⑨）。
这样我们就得到了一棵二叉树，并且当我们对它进行中序遍历时，就可以得到一个有序的序列{ 35, 37, 47, 51, 58, 62, 73, 88, 93, 99 }，所以我们通常称它为二叉排序树。
二叉排序树（ Binary Sort Tree ），又称为二叉査找树。它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树。
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结构的值；
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
从二叉排序树的定义也可以知道，它前提是二叉树，然后它采用了递归的定义方法，再者，它的结点间满足一定的次序关系，左子树结点一定比其双亲结点小，右子树结点一定比其双亲结点大。
构造一棵二叉排序树的目的，其实并不是为了排序，而是为了提高查找和插入删除关键字的速度。不管怎么说，在一个有序数据集上的查找，速度总是要快于无序的数据集的，而二叉排序树这种非线性的结构，也有利于插入和删除的实现。
8.6.1 二叉排序树查找操作
首先我们提供一个二叉树的结构：
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef struct BiTNode /* 结点结构 */
{
int data; /* 结点数据 */
struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;
然后我们来看看二叉排序树的查找是如何实现的。
#define TRUE 1
#define FALSE 0
typedef int Status; //创建子函数返回类型
/* 递归查找二叉排序树 T 中是否存在 key , 指针 f 指向 T 的双亲，其初始调用值为NULL */
/* 若查找成功，则指针 p 指向该数据元素结点，并返回 TRUE */
/* 否则指针 p 指向查找路径上访问的最后一个结点并返回 FALSE */
Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p)
{
if (!T) /* 查找不成功 */
{
*p = f;
return FALSE;
}
else if (key == T->data) /* 查找成功 */
{
*p = T;
return TRUE;
}
else if (key < T->data)
{
return SearchBST(T->lchild , key, T, p); /*在左子树继续查找 */
}
else
{
return SearchBST(T->rchild, key, T, p); /*在右子树继续查找 */
}
}
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SearchBST 函数是一个可递归运行的函数，函数调用时的语句为 SearchBST(T,93,NULL,p) ，参数 T 是一个二叉链表，其中数据如图 8-6-3 所示，key 代表要查找的关键字，目前我们打算查找 93 ，二叉树 f 指向 T 的双亲，当 T 指向根结点时，f 的初值就为 NULL ，它在递归时有用，最后的参数 P 是为了査找成功后可以得到查找到的结点位置。
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第 9〜13 行，是用来判断当前二叉树是否到叶子结点，显然图 8-6-3 告诉我们当前 T 指向根结点 62 的位置，T 不为空，第 11〜12 行不执行。
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第 14〜18 行是查找到相匹配的关键字时执行语句，显然 93≠62 ，第 16〜17 行不执行。
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第 19〜22 行是当要查找关键字小于当前结点值时执行语句，由于 93>62 ，第 21 行不执行。
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第 23〜26 行是当要查找关键字大于当前结点值时执行语句，由于 93>62 ，所以递归调用 SearchBST(T->rchild, key, T, p) 。此时 T 指向了 62 的右孩子 88 ，如图 8-6-4 所示。
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此时第二层 SearchBST ，因 93 比 88 大，所以执行第 25 行，再次递归调用 SearchBST(T->rchild, key, T, p) 。此时 T 指向了 88 的右孩子 99 ，如图 8-6-5 所示。
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第三层的 SearchBST ，因 93 比 99 小，所以执行第 21 行，递归调用 SearchBST( T->lchild, key, T, p ) 。此时 T 指向了 99 的左孩子 93 ，如图 8-6-6 所示。
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第四层 SearchBST ，因 key 等于 T->data ，所以执行第 16〜17 行，此时指针 p 指向 93 所在的结点，并返回 True 到第三层、第二层、第一层，最终函数返回 True 。
8.6.2 二叉排序树插入操作
有了二叉排序树的查找函数，那么所谓的二叉排序树的插入，其实也就是将关键字放到树中的合适位置而已，来看代码。
#define TRUE 1
#define FALSE 0
typedef int Status; //创建子函数返回类型
/* 当二叉排序树T中不存在关键字等于 key 的数据元素时，*/
/* 插入 key 并返回 TRUE ,否則返回 FALSE */
Status InsertBST(BiTree *T,int key)
{
BiTree p, s;
if (!SearchBST(*T, key, NULL, &p)) /* 查找不成功 */
{
s = (BiTree)malloc(sizeof (BiTNode));
s->data = key;
s