LeetCode刷题--- 地下城游戏

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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的  

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现

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地下城游戏

题目链接：地下城游戏

题目

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

示例 1：

输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出：7
解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2：

输入：dungeon = [[0]]
输出：1

提示：

• m == dungeon.length
• n == dungeon[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• -1000 <= dungeon[i][j] <= 1000

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解法

算法原理讲解

我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤

1. 状态显示
2. 状态转移方程
3. 初始化（防止填表时不越界）
4. 填表顺序
5. 返回值

• 状态显示

1. 这道题如果我们和以前的题目一样定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。 那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。
2. 这个时候我们要换⼀种状态表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。 综上所述，定义状态表示为： dp[i][j] 表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。

• 状态转移方程

对于 dp[i][j] ，从 [i, j] 位置出发，下⼀步会有两种选择（为了⽅便理解，设 dp[ i ][ j ] 的最终答案是 x ）

• 走到右边，然后⾛向终点 。那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要大于等于右边位 置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1] 。 通过移项可得： x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] ；
• ⾛到下边，然后⾛向终点。那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j] 。 通过移项可得： x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] -dungeon[i][j] ；

综上所述，我们需要的是两种情况下的最⼩值，因此可得状态转移⽅程为：

dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]

但是，如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个⽐较⼤的正数的话， dp[i][j] 的值可能变成 0 或者负数。也就是最低点数会⼩于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j] 如果⼩于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j] 与 1 取⼀个最⼤值即可： dp[i][j] = max(1, dp[i][j])。

• 初始化（防止填表时不越界）

在 dp 表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤，然后让 dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。

• 填表顺序

根据「状态转移⽅程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。

• 返回值

根据「状态表⽰」，我们需要返回 dp[0][0] 的值。

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代码实现

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector>& dungeon) 
    {
        int m = dungeon.size();
        int n = dungeon[0].size();

        vector> dp(m+1, vector(n+1,INT_MAX));
        // 初始化
        dp[m][n-1] = dp[m-1][n] = 1;
        // 填表
        for (int i = m - 1; i >= 0; i--)
        {
            for (int j = n - 1; j >=0; j--)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i+1][j],dp[i][j+1]) - dungeon[i][j];
                dp[i][j] = max(1,dp[i][j]);     // 防止正数太大
            }
        }

        return dp[0][0];
    }
};