SVD和EVD的关系

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SVD和EVD基本概念

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）和特征值分解（Eigenvalue Decomposition，EVD）是矩阵分解的两种常见方法，它们在线性代数、统计学和机器学习等领域中经常被使用。虽然它们有一些相似之处，但也存在一些重要的区别。

1. 定义和形式:

   • SVD（奇异值分解）： 对于任意矩阵 ($A$)，SVD 将其分解为三个矩阵的乘积： ($A=U\Sigma V^T$)，其中 ($U$) 和 ($V$) 是正交矩阵，($\Sigma$) 是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

   • EVD（特征值分解）： 对于一个方阵 ($A$)，EVD 将其分解为三个矩阵的乘积： ($A=Q\Lambda Q^{-1}$)，其中 ($Q$) 是特征向量矩阵，($\Lambda$) 是特征值矩阵。

2. 适用条件:

   • SVD： 可以用于任何矩阵，包括非方阵。因此，SVD 可以应用于任何矩阵的分解，包括非方阵、矩阵的秩不满秩等情况。

   • EVD： 仅适用于方阵。如果矩阵不是方阵，需要使用广义特征值分解（Generalized Eigenvalue Decomposition）。

3. 性质:

   • SVD： 奇异值是非负实数，而且是矩阵的奇异值分解总是存在的。

   • EVD： 特征值可以是复数，而且并非所有矩阵都具有特征值分解。

4. 唯一性:

   • SVD： 对于任意矩阵，它的奇异值分解是唯一的。

   • EVD： 并非所有矩阵都具有唯一的特征值分解。有些矩阵可能有多个特征值分解。

尽管 SVD 和 EVD 在某些方面有相似性，但它们在应用和性质上有很大的区别。SVD 更加通用，适用于任意矩阵，而 EVD 主要用于方阵。在实际应用中，选择使用哪种分解方法通常取决于问题的性质和所处理的数据。

具体计算中的关系

让我们重新考察方阵 ($A$) 的奇异值分解（SVD）和 ($A^{T}A$) 的特征值分解（EVD）之间的关系。

对于方阵 ($A$)，假设它的奇异值分解为 ($A=U\Sigma V^T$)，其中 ($U$) 和 ($V$) 是正交矩阵，($\Sigma$) 是对角矩阵，对角线上的元素是奇异值。那么 ($A^{T}A$) 的特征值分解为 ($A^{T}A=W\Lambda W^{-1}$)，其中 ($W$) 是特征向量矩阵，($\Lambda$) 是特征值矩阵。

现在，我们有 ($A=U\Sigma V^T$)，我们可以计算 ($A^{T}A$)：

[$A^{T}A=(U\Sigma V^T{)}^T(U\Sigma V^T)=V{\Sigma }^T{U}^{T}U\Sigma V^T=V{\Sigma }^T\Sigma V^T$]

这里，($V$) 是 ($A^{T}A$) 的特征向量矩阵，(${\Sigma }^T\Sigma$) 是 ($A^{T}A$) 的特征值矩阵。

总结一下，对于方阵 ($A$)，其奇异值分解 ($A=U\Sigma V^T$) 中的 ($V$) 与 ($A^{T}A$) 的特征值分解 ($A^{T}A=W\Lambda W^{-1}$) 中的 ($V$) 对应。特别地，($V$) 是正交矩阵，正是 ($A^{T}A$) 特征值分解中的特征向量矩阵。这就是它们之间的关系。

非常抱歉之前的混淆，感谢你的耐心。希望这次的解释更为准确清晰。