AcWing 1230.K倍区间（详解）

[题目概述]

给定一个长度为 N的数列，$A_1,A_2,\dots A_N$，如果其中一段连续的子序列 $A_i\dots A_j$ 之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 [i,j] 是 K倍区间。
你能求出数列中总共有多少个 K倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 N和 K。以下N行每行包含一个整数 $A_i$。

输出格式

输出一个整数，代表 K倍区间的数目。

数据范围

1 ≤ N, K ≤100000,
1 ≤ $A_i$ ≤100000

• 分析问题
  • 一眼就可看出这个题考察前缀和，可以别枚举左右端点来求中间的和，但结合题目所给数据范围1 ≤ N ≤100000 可知，我们最多可以枚举一次，否则大概率会超时，那么怎样进行优化呢？
  • 我们此时的第二重循环就是当i 固定时，在1 ~ i 中有多少s[j - 1]与s[i] 对k的余数相同 （同余定理：数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对m同余），稍加变换就是求0 ~ i - 1中有多少s[j]与s[i] 对k的余数相同，也就是在所有前缀和中，有多少前缀和是余数相同的，这样就优化了一重循环。

     for(int i = 1; i <= n; i ++)
     	for(int j = 1; j <= i; j ++)
     		if((s[i] - s[j - 1]) % k == 0)
     			cnt ++;
  

• 完整代码（详解版）

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 100005;
int n, k;
 // 最多10^5个数，每个数最大10^5，而int最大能接受10^9,所以可能会爆int，需要用long long
 // cnt[ ]记录相同余数的数有多少个
long long s[N], a[N], cnt[N];

int main() {
	cin >> n >> k;
	// 预处理前缀和
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		cin >> a[i];
		s[i] = s[i - 1] + a[i];
	}
	int res = 0;
	cnt[0] = 1; // 余数为0的数本来就有一个，需要初始化为1（子序列为空时）
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		res += cnt[s[i] % k];
		cnt[s[i] % k] ++; // 当前前缀和的余数也是一种情况，需要更新
	}
	cout << res;
	return 0;
}

• 本题完毕，有问题的小伙伴可以评论区留言！有帮助的话记得点赞收藏