TF-IDF和BM25算法原理及python实现

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前言

搜索引擎是如何计算关键字和内容的相关性呢？这里介绍2种重要的权重度量方法：TF-IDF和BM25。
在进入理论探讨之前，我们先举个例子。假如，我们想找和“Lucence”相关的文章。可以想一下，那些内容里只出现过一次“Lucence”的文章，有可能是在讲某种技术，顺便提到了Lucence这个工具。而那些出现了两三次“Lucence”的文章，很可能是专门讨论Lucence的。通过直觉，我们可以得出判断：关键字出现的次数越多，文档与关键字的匹配度越高

一、TF-IDF

TF定义：

词频(Term Frequenc,TF): 表示某关键词词在文章中出现的总次数，TF越大，通常相关性越高。该指标通常会被归一化为：

其中，除以文档总词量进行归一化的目的是：防止结果偏向过长的文档（同一个词语在长文档里通常会具有比短文档更高的词频）
举例：某文档D，长度为200，其中“Lucence”出现了2次，“的”出现了20次，“原理”出现了3次，那么:

“Lucence的原理”这个短语与文档D的相关性就是三个词的相关性之和。

我们发现一个问题，就是“的”这个词占了很大权重，而它对文档主题的几乎没什么贡献。这种词叫停用词，在度量相关性时不考虑它们的词频。去掉这个词后，上面的相关性变为0.025。其中“Lucence”贡献了0.01, “原理”贡献了0.015。

逆文本频率指数(Inverse Document Frequency,IDF)

细心的人还会发现，“原理”是个很通用的词，而“Lucence”是个专业词。直觉告诉我们，“Lucence”这个词对我们的搜索比“原理”更重要。抽象一下，可以理解为 一个词预测主题的能力越强，就越重要，权重也应该越大。反之，权重越小。
假设我们把世界上所有的文档的总和看成一个文档库。如果一个词，很少在文档库里出现过，那通过它就容易找到目标，它的权重也应该大。反之，如果一个词在文档库中大量出现，看到它仍然不清楚在讲什么内容，它的权重就应该小。
其中，“的、地、得”这些虚词出现的频率太高，以至于权重设为零也不影响搜素，这也是它们成为停用词的原因之一。
假设关键词w在n个文档中出现过，那么n越大，则w的权重越小。

注意: 这里的log是指以2为底的对数,不是以10为底的对数。
N表示全部文档数，n代表某关键词w在全部文档N中出现的文档数目。
假如世界上文档总数位100亿，"Lucence"在1万个文档中出现过，“原理”在2亿个文档中出现过，那么它们的IDF值分别为：

“Lucence”重要性相当于“原理”的3.5倍。停用词“的”在所有的文档里出现过，故n=N，它的IDF=log(1)=0，这就是停用词，影响力为0。
当某关键词w在全部文档N中出现的文档数目为0时，会出现分母为0的现象，故为了解决这个问题，进行平滑操作，对其分母+1：

TF-IDF(Term Frequency-inverse Document Frequency)

TF-IDF是一种针对关键词的统计分析方法，用于评估一个词对一个文件集或者一个语料库的重要程度。一个词的重要程度跟它在文章中出现的次数成正比(TF)，跟它在语料库出现的次数成反比。这种计算方式能有效避免常用词对关键词的影响，提高了关键词与文章之间的相关性。

TFIDF值越大表示该特征词对这个文本的重要性越大。
Lucence中的TF-IDF：
早期的Lucence是直接把TF-IDF作为默认相似度来用的，只不过做了适当调整，它的相似度公式为:

N:文档数量总数量；
n：包含关键字的文档数量；
tf：某个关键词在文档中出现的次数
length：文档的长度
上面的公式在Lucence系统里做计算时会被拆分成三个部分：

fieldNorms 是对文本长度的归一化(Normalization)。
所以，上面公式也可以表示成:

短语与文档的最终相关性就是TF和IDF的加权求和：

现在可以计算出上文中提到的“Lucence的原理”与文档D的相关性:

其中，“Lucence”占了70%的权重，“原理”仅占30%的权重，符合上节“Lucence”这个词对我们的搜索比“原理”更重要的猜测。

二、BM25

BM25, 下一代的TF-IDF。新版的lucence不再把TF-IDF作为默认的相关性算法，而是采用了BM25(BM是Best Matching的意思)。BM25是基于TF-IDF并做了改进的算法。(Elasticsearch是一个基于Lucene库的搜索引擎).

1.BM25中的TF

传统的TF值理论上是可以无限大的。而BM25与之不同，它在TF计算方法中增加了一个常量k，用来限制TF值的增长极限。下面是两者的公式：

下面是两种计算方法中，词频对TF Score影响的走势图。从图中可以看到，当tf增加时，TF Score跟着增加，但是BM25的TF Score会被限制在0~k+1之间。它可以无限逼近k+1，但永远无法触达它。
这在业务上可以理解为某一个因素的影响强度不能是无限的，而是有个最大值，这也符合我们对文本相关性逻辑的理解。
在Lucence的默认设置里，k＝1.2，使用者可以修改它。

BM25如何对待文档长度

BM25还引入了平均文档长度的概念，单个文档长度对相关性的影响力与它和平均长度的比值有关系。BM25的TF公式里，除了k外，引入另外两个参数：L和b。

L是文档长度与平均长度的比值；如果文档长度是平均长度的2倍，则L＝2；b是一个常数，它的作用是规定L对评分的影响有多大。故：

下面是不同L的条件下，词频对TF Score影响的走势图：

从图上可以看到，文档越短，它逼近上限的速度越快，反之则越慢。这是可以理解的，对于只有几个词的内容，比如文章“标题”，只需要匹配很少的几个词，就可以确定相关性。而对于大篇幅的内容，比如一本书的内容，需要匹配很多词才能知道它的重点是讲什么。
上文说到，参数b的作用是设定L对评分的影响有多大。如果把b设置为0，则L完全失去对评分的影响力。b的值越大，L对总评分的影响力越大。此时，相似度最终的完整公式为：

BM25 相对TF-IDF有哪些优势？

ES 5.0（基于Lucene 6）及后续版本使用 BM25代替TF-IDF作为默认的相似度算法。那么BM25 相对 TF-IDF 有哪些优势呢？

• BM25在传统TF-IDF的基础上增加了几个可调节的参数，使得它在应用上更佳灵活和强大，具有较高的实用性。
• 根据ES权威指南的说法，BM25 在词频饱和度方面有更好的表现。但是考虑到 TF 会被归一化到
  [0,1]，实际的词频饱和度表现如下(BM25取k=1.2, 文档长度等于平均长度)。
  思考：
  为什么BM25的TF Score计算要用 d/avgDl, 而不是用平方根、log或者其它计算方法？它背后是否有理论支持？

BM25代码实现 python

PARAM_K1 = 1.5
PARAM_B = 0.75
EPSILON = 0.25
# BM25 相似度算法
# simlarity = IDF * ((k + 1) * tf) / (k * (1.0 - b + b * (|d|/avgDl)) + tf)
#用BM25做召回，esim做排序（文本相似度匹）
class BM25(object):
    """Implementation of Best Matching 25 ranking function.
    Attributes
    ----------
    corpus_size : int
        Size of corpus (number of documents).
    avgdl : float
        Average length of document in `corpus`.
    corpus : list of list of str
        Corpus of documents.
    f : list of dicts of int
        Dictionary with terms frequencies for each document in `corpus`. Words used as keys and frequencies as values.
    df : dict
        Dictionary with terms frequencies for whole `corpus`. Words used as keys and frequencies as values.
    idf : dict
        Dictionary with inversed terms frequencies for whole `corpus`. Words used as keys and frequencies as values.
    doc_len : list of int
        List of document lengths.
    """
    def __init__(self, corpus):
        """
        Parameters
        ----------
        corpus : list of list of str
            Given corpus.
        """
        self.corpus_size = len(corpus)
        self.avgdl = sum(float(len(x)) for x in corpus) / self.corpus_size
        self.corpus = corpus
        self.f = []
        self.df = {}
        self.idf = {}
        self.doc_len = []
        self.initialize()

    def initialize(self):
        """Calculates frequencies of terms in documents and in corpus. Also computes inverse document frequencies."""
        for document in self.corpus:
            frequencies = {}
            self.doc_len.append(len(document))
            for word in document:
                if word not in frequencies:
                    frequencies[word] = 0
                frequencies[word] += 1
            self.f.append(frequencies)
            for word, freq in iteritems(frequencies):
                if word not in self.df:
                    self.df[word] = 0
                self.df[word] += 1
        for word, freq in iteritems(self.df):
            self.idf[word] = math.log(self.corpus_size - freq + 0.5) - math.log(freq + 0.5)
    # def get_score(self,document, index, average_idf):
    def get_score(self, document, index):
        """Computes BM25 score of given `document` in relation to item of corpus selected by `index`.
        Parameters
        ----------
        document : list of str
            Document to be scored.
        index : int
            Index of document in corpus selected to score with `document`.
        average_idf : float
            Average idf in corpus.
        Returns
        -------
        float
            BM25 score.
        """
        score = 0
        for word in document:
            if word not in self.f[index]:
                continue
            idf = self.idf[word]
            # if self.idf[word] >= 0 else EPSILON * average_idf
            # score += (idf * self.f[index][word] * (PARAM_K1 + 1)
            #                       / (self.f[index][word] + PARAM_K1 * (1 - PARAM_B + PARAM_B * self.doc_len[index] / self.avgdl)))
            score += (idf * self.f[index][word] * (PARAM_K1 + 1)
                      / (self.f[index][word] + PARAM_K1 * (1 - PARAM_B + PARAM_B * self.doc_len[index] / self.avgdl)))
        return score
    # def get_scores(self,document, average_idf):
    def get_scores(self, document):
        """Computes and returns BM25 scores of given `document` in relation to
        every item in corpus.
        Parameters
        ----------
        document : list of str
            Document to be scored.
        average_idf : float
            Average idf in corpus.
        Returns
        -------
        list of fl
        Returns
        -------
        list of float
            BM25 scores.
        """
        scores = []
        for index in xrange(self.corpus_size):
            # score = self.get_score(document, index, average_idf)
            score = self.get_score(document, index)
            scores.append(score)
        return scores

参考链接：https://my.oschina.net/stanleysun/blog/1617727
https://www.cnblogs.com/johnnyzen/p/116298273.html
https://www.infoq.cn/article/k2pil5frm450o5ocClz0