HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘

序列数据

机器学习的数据通常有两类,最常见的是独立同分布数据,其次就是序列数据。对于前者,一般出现在各种分类/回归问题中,其最大似然估计是所有数据点的概率分布乘积。对于后者,一般出现在各种时间序列问题中,比如在特定时间特定区域内的降雨量数据、每天的货币汇率数据,以及上下文相关的,如语音识别中的声学特征数据、文本的字符序列数据、生物领域如DNA数据等。需要指出,本文介绍的HMM模型适用于一切序列问题,而不仅仅是时序问题。

序列数据的平稳非平稳性

在平稳状况下,虽然数据随时间变化,但数据的分布(或来源)不变。而对于非平稳状况,情况更为复杂,生成数据的分布本身也在变化。这里我们讨论简单的平稳情况。

马尔科夫模型(Markov models)

马尔科夫决策过程(MDP)类似,本文讨论的马尔科夫模型也满足马尔科夫性,即未来的预测只依赖于最近的观测,而与过去的历史无关。换言之,马尔科夫性是指不具备记忆特质。这是因为,如果考虑未来观测对所有过去观测的通用依赖,就会导致复杂性的无限增加。而为了预测未来,最近的观测总是比过去历史的观测更有信息量、更有价值。

对于通用的马尔科夫链(Markov chain),我们可以用以下联合概率表示:

                   (公式1)

其中x_{1},x_{2},...,x_{N}表示观测序列,该式很好理解,即p(x_{1})p(x_{2}|x_{1})p(x_{3}|x_{1}x_{2})...p(x_{N}|x_{1}x_{2}...x_{N-1})=p(x_{1}x_{2}...x_{N-1}x_{N})

现在考虑一阶马尔科夫链(first-order Markov chain),即满足未来的状态仅与当前状态相关,与任何历史的状态无关,用下图表示:

(图1)

此时上述公式变为:

       (公式2)

直观表示为:p(x_{1}x_{2}...x_{N-1}x_{N})=p(x_{1})p(x_{2}|x_{1})p(x_{3}|x_{2})...p(x_{N}|x_{N-1})

根据马尔科夫性(未来只依赖于最近,而与过去的历史无关)可知

           (公式3)

对于平稳序列数据,p(x_{n}|x_{n-1})条件概率对于不同n是一样的,这样的模型叫做同质马尔科夫链。举个例子,如果这个条件概率依赖于某个可调节的参数(从训练数据中得到),那么该链的所有条件概率就能共享该参数。

现在考虑高阶马尔科夫链(higher-order Markov chain),即允许更早的观测对于此刻有影响,比如二阶马尔科夫链(second-order Markov chain)是允许预测值依赖于前两个观测。用下图表示:

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第1张图片(图2)

它的联合概率分布表示为:

   (公式4)

高阶马尔科夫链相对于一阶马尔科夫链增加了灵活性,但也增加了参数量。事实上,M阶马尔科夫链的参数随M指数级增加从而导致该方法不实用。

隐马尔科夫模型(Hidden Markov models)

HMM在马尔科夫模型中引入隐变量(也叫潜在变量),已知有{x_{1},x_{2},...x_{n}},现引入{z_{1},z_{2},...z_{n}},具体结构如下图所示:

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第2张图片(图3)

上图满足当给定z_{n}时,z_{n-1}z_{n+1}是条件独立的,即:

                 (公式5)

因此,HMM的联合概率分布可表示为:

     (公式6)

观察可知,对于任意两个观测值x_{n}x_{m},总存在一条经过隐变量的路径连接它们。因此,x_{n+1}的预测概率p(x_{n+1}|{x_{1},x_{2},...x_{n}})不存在条件独立性,即x_{n+1}必定依赖于所有的{x_{1},x_{2},...x_{n}},换言之,观测变量X不满足任意阶马尔科夫性。

假设每个隐变量z_{n}有K个状态(或K个取值),则它可以表示为K维的向量,其中向量的值为1个元素为1,其余元素全为0. 我们对隐变量z_{n}定义一个条件概率p(z_{n}|z_{n-1}),那么该概率对于所有n的取值对应了一个矩阵,记为A。这个A就是转移矩阵,其中每个元素叫做转移概率

我们把A的元素A_{jk}定义为A_{jk}\equiv p(z_{nk}=1|z_{n-1,j}=1),它的含义是,在n-1时刻,z在j状态的取值为1,在n时刻,z在k状态的取值为1,事件发生的条件概率(可以看出,和n的取值无关,因为是平稳序列数据)。另外,由于A_{jk}是概率,所以满足0\leqslant A_{jk}\leqslant 1,以及根据上文状态定义,有\sum_{k} A_{jk}=1

条件概率p(z_{n}|z_{n-1})用显式的公式可表示为:

                              (公式7)

该式含义是:在以A为转移矩阵的背景下,隐变量Z在n-1时刻(即z_{n-1})向n时刻(即z_{n})转移的总概率是A矩阵(KxK)若干元素的乘积,具体是n-1时刻在状态j的元素(即z_{n-1,j})转移到n时刻在状态k的元素(即z_{n,k})。

初始隐变量节点z_{1}比较特殊,因为它没有父节点(没有节点指向它)。它的边际概率表示为:

                                             (公式8)

其中\pi是概率\pi _{k}\equiv p(z_{1k}=1)构成的向量,不难理解,\pi _{k}的含义是:在时刻1,隐变量Z处于k状态(即初始化状态是k)的概率。由于z_{1k}的取值不是0就是1,因此\pi _{k}^{z_{1k}}只有在状态取值为k(即z_{1k}=1)时,才为\pi _{k},而在其余状态(即z_{1k}=0)都为1.   那么p(z_{1}|\pi )就表示时刻1的隐变量的边际概率,它可通过对时刻1的所有K个状态累积得到。另外,根据定义有:\sum_{k} \pi _{k}=1

对于K=3的状态转移图可用下图表示:

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第3张图片(图4)

图中三个方形表示3个状态。黑色箭头曲线表示状态转移矩阵的元素A_{jk}。注意:这不是概率图模型(PGM,即 probabilistic graphical model),因为每个节点不是单独的变量,而是同一个变量的不同状态(在不同时刻取得)。因此这里的节点用方形而不是圆形表示。

把上图按照时间展开,就得到了一个包含隐变量的网格图,对于HMM就有如下形式:

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第4张图片(图5)

不难发现,每一列对应一个z_{n},每一行代表一个状态。

现在考虑条件概率p(x_{n}|z_{n},\phi ),其中\phi是决定分布的一系列参数。这个由隐变量决定观测变量的条件概率叫做发射概率(即emission probabilities),对于离散的x(包括HMM场景),一般由条件概率表(CPT,即conditional probability tables )给出。另外,对于给定的\phi,由于z_{n}是长度为K的二元向量(元素非0即1),p(x_{n}|z_{n},\phi )同样对应一个包含K个元素的向量

发射概率可具体表示如下:

                         (公式9)

一些讨论:对于同质模型,控制隐变量的所有条件概率p(z_{n}|z_{n-1})共享转移矩阵A,类似的,发射概率p(x_{n}|z_{n})共享所有的\phi。另外需要注意到,基于独立同分布数据的混合模型(如GMM)对应本文的特例,其中A_{jk}对于所有的j是一样的;因此这导致p(z_{n}|z_{n-1})独立于z_{n-1}。此时相当于把图3所有的横向箭头曲线去除得到的模型。

现在给出隐变量和观测变量的联合概率分布的具体形式,相当于对公式6的具体化:

  (公式10)

其中X={X_{1},X_{2},...,X_{N}},Z={Z_{1},Z_{2},...,Z_{N}},\theta ={\pi,A,\phi}。从上式可看出对A和\phi共享的含义。

HMM的极大似然估计(EM算法)

当我们得到观测值X={X_{1},X_{2},...,X_{N}},我们可以利用极大似然估计(MLE)来计算HMM的未知参数。HMM的X的边际概率可表示如下:

                                                   (公式11)

p(X|\theta )是对Z和X的联合概率p(X,Z|\theta )对隐变量Z的求和得到。由于联合概率p(X,Z|\theta )无法分解为n项因子的乘积,我们无法独立的对每个z_{n}进行求和。另外因为有N个变量需要求和,其中每个变量是K维向量(包含K个状态),因此总共有K^{N}项数值需要求和,是HMM链路长度N的指数级别,也就无法直接求和。(注意:公式11的求和对应了图5的网格图中指数量级的路径之和。)

这时候我们想到EM算法。EM算法需要对模型参数进行初始化,记为\theta ^{old}E步骤中,我们利用\theta ^{old}计算出隐变量的后验概率p(Z|X,\theta ^{old});然后用该后验概率在M步骤中计算出Q(\theta|\theta ^{old} ),具体公式如下:

                             (公式12)

(关于EM算法以及公式12的来源,见本人另一篇博客:

EM算法(expectation maximization algorithms)揭秘  )

现在给出一些函数符号,我们把隐变量z_{n}的边际后验概率记为\gamma (z_{n}),具体如下:

\gamma (z_{n})=p(z_{n}|X,\theta^{old} )                                                                   (公式13)

把两个相邻的隐变量z_{n-1}z_{n}的联合后验概率记为\xi (z_{n-1},z_{n}),具体如下:

\xi (z_{n-1},z_{n})=p(z_{n-1},z_{n}|X,\theta^{old} )                                              (公式14)

对于每个时刻n,由于z_{n}是一个K维的二元向量(只有一个1,其余全是0),因此\gamma (z_{n})是一个K维的非负且元素和为1的向量。类似的,\xi (z_{n-1},z_{n})是一个KxK维的矩阵,且其元素也是非负且和为1.我们用\gamma (z_{nk})表示z_{nk}=1的概率。\xi (z_{n-1,j},z_{nk})表示z_{n-1,j}=1z_{nk}=1的联合概率。由于二元随机变量(非0即1)的期望等于它取值为1的概率,因此有:

                        (公式15)

       (公式16)

现在将公式10的联合概率分布代入公式12,并且利用公式15公式16\gamma\xi的定义,得到:

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第5张图片(公式17)

验证提示:上式右边第一项需要用到\pi _{k}的定义\pi _{k}\equiv p(z_{1k}=1)\pi _{k}的属性\sum_{k} \pi _{k}=1,以及p(z_{1}|\pi )的定义(即公式8);上式右边第二项需要用到A_{jk}的定义A_{jk}\equiv p(z_{nk}=1|z_{n-1,j}=1),以及p(z_{n}|z_{n-1},A)的定义(即公式7);上式右边第三项需要用到p(x_{n}|z_{n},\phi )的定义(即公式9)。

E步骤中,我们计算\gamma (z_{n})\xi (z_{n-1},z_{n})的值,这就需要计算\gamma (z)也就是\gamma (z)=p(z|X,\theta^{old} )的值,可以看到,和上文提到的EM算法的E步骤对应起来了。

M步骤中,我们将\theta ={\pi ,A,\phi}看成变量,同时将\gamma (z_{n})\xi (z_{n-1},z_{n})看成常量,对Q(\theta|\theta ^{old} )进行最大化。其中对于\piA变量比较简单,可分别用拉格朗日乘子法,得到结果(过程省略):

                                       (公式18)

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第6张图片                     (公式19)

EM算法要求对变量\piA选取恰当的初始值,应当分别满足求和为1的约束和非负约束。另外注意到,\piA一旦被初始化为0,在EM迭代过程中会一直保持为0.

当把\phi _{k}看成变量,对Q(\theta|\theta ^{old} )进行最大化时,注意到公式17只有第三项有\phi _{k},此时这一项的形式和高斯混合模型完全一致(见EM应用篇(GMM))。本文的\gamma (z_{nk})同样起到某种“责任”的作用,或说负责解释的比例。现在考虑观测概率p(x_{n}|\phi _{k})的具体形式,它可以是高斯概率分布,离散多项式概率分布,或伯努利概率分布等。(在李航《统计学习方法》第10章,介绍HMM时,只给出了观测概率矩阵B,并未讨论产生它的概率分布。是否这个讨论是必要的?)

对于高斯概率分布,假设符合以下形式p(x|\phi _{k})=N(x|\mu_{k},\Sigma_{k} ),即\phi _{k}具体对应了两个参数:高斯的均值\mu_{k}和协方差\Sigma_{k}。那么此时对Q(\theta|\theta ^{old} )最大化,我们得到最优解(过程省略):

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第7张图片                               (公式20)

  HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第8张图片                        (公式21)

对于离散多项式概率分布,观测概率p(x|z)符合以下形式:

                                            (公式22)

注意,它只有一个参数\mu。同样在M步骤中对Q(\theta|\theta ^{old} )最大化,得到最优解(过程省略):

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第9张图片                                        (公式23)

思考:对于伯努利概率分布,情况如何?

EM算法的初始值很重要,这里有个技巧,首先把HMM的时序数据看成独立同分布数据,并用MLE对观测概率分布进行拟合。然后用最终结果来初始化EM算法。

前向与后向算法

下面解决上述EM算法中E步骤的\gamma (z_{nk})\xi (z_{n-1,j},z_{nk})的高效计算问题。前向与后向算法(forward-backward algorithm (Rabiner, 1989))就是为了解决这个问题。不过这里有争议:有学者认为前向与后向算法就是Baum-Welch算法(Baum-Welch algorithm (Baum, 1972)),或至少是接近的,或存在包含关系,代表人物是《PRML》的作者。但也有学者认为,前向与后向算法Baum-Welch算法(属于EM算法)是并列关系,是相互独立的,分别解决HMM的第一个问题(即概率计算问题)和第二个问题(即参数学习问题),代表人物是《统计学习方法》的作者。而维基百科的观点是:Baum-Welch 算法EM算法的一个特例,用于查找隐马尔可夫模型(HMM) 的未知参数,它利用前向-后向算法来计算期望步骤(即E步骤)的统计数据。言归正传,前向与后向算法有多个变体,其中最通用的算法叫做alpha-beta算法

接下来的讨论将忽略对模型参数\theta ^{old}的显式依赖,因为它始终是固定的值。以下条件独立性来自论文(Jordan, 2007):

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第10张图片HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第11张图片

其中X={X_{1},X_{2},...,X_{N}}。这些公式不难证明,有的能直接观察出来,下面依次验证。

公式24:相当于把X从n时刻处截断,由两部分的条件独立性得证。

公式25:由于隐变量z_{n}能决定观测变量x_{n},因此x_{n}作为冗余条件可消去,得证。

公式26:由于隐变量z_{n-1}能决定隐变量z_{n},因此z_{n}作为冗余条件可消去,得证。

公式27:和公式26不同,这里要决定n+1到N时刻的值,保留z_{n+1}即可。

公式28:与公式25类似。

公式29:把X从n处分割成三段,结合HMM的图结构,应用贝叶斯公式可得。

公式30:x_{N+1}只由z_{N+1}决定,与X无关,得证。

公式31:z_{N+1}只由z_{N}决定,与X无关,得证。

现在考虑\gamma (z_{nk})的计算问题。我们从z_{n}的后验概率p(z_{n}|X)入手(见公式13),其中z_{n}是K维二元向量,其每个元素记为z_{nk}。利用贝叶斯公式,我们得到:

                             (公式32)

公式13不同,这里省略了\theta ^{old}的记号。事实上p(X)\theta ^{old}隐式决定,它表示一个似然估计。现在基于公式24条件独立性,可将\gamma (z_{n})进一步改写得到:

         (公式33)

其中\alpha(z_{n})\beta (z_{n})的定义分别为:

            

\alpha(z_{n})表示z_{n}和直到n时刻的观测数据的联合概率\beta (z_{n})表示所有n+1到N时刻的未来数据相对于z_{n}条件概率。与z_{n}一样,\alpha(z_{n})\beta (z_{n})也是K维向量,\alpha(z_{n})的每个元素用\alpha(z_{nk})表示,此时表示z_{nk}=1\beta (z_{nk})同理。

接下来推导\alpha(z_{n})的迭代关系,下面的推导用到公式25公式26条件独立性

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第12张图片

上式最后一步p(x_{1},...,x_{n-1},z_{n-1})就是\alpha(z_{n-1}),因此我们得到:

               (公式36)

上式\alpha(z_{n})迭代(即前向算法)的时间复杂度为O(K^{2}),它的网格图如下:

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第13张图片(图6)

上图表明\alpha(z_{n,1})是由各个\alpha(z_{n-1,j})加权求和得到,权重是各个A_{j1},而A_{j1}就对应不同状态到达状态k=1的p(z_{n}|z_{n-1}),加权求和结果要乘以p(x_{n}|z_{n,1})才表示最终的\alpha(z_{n,1})

\alpha(z_{n})的迭代初始值\alpha(z_{1})由以下公式给出:

          (公式37)

这表明每个\alpha(z_{1k})\pi _{k}p(x_{1}|\phi_{k} )形式给出,其中k=1,...,K。这样就能顺着隐变量链得到每个z_{n}\alpha函数值,即\alpha(z_{n})。整个链路有N个时刻,因此总时间复杂度为O(K^{2}N)

类似的,可以推导\beta (z_{n})的迭代关系,下面的推导用到公式27公式28条件独立性

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第14张图片

上式最后一步p(x_{n+2},...,x_{N}|z_{n+1})就是\beta (z_{n+1}),因此我们得到:

             (公式38)

上式\beta (z_{n})利用\beta (z_{n+1})迭代计算(即后向算法),同时基于发射概率p(x_{n+1}|z_{n+1})以及转移概率p(z_{n+1}|z_{n}),它的网格图如下:

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第15张图片(图7)

上图A_{1k}对应公式中的p(z_{n+1}|z_{n}),表示从n时刻的状态k=1转移到n+1时刻的状态k的转移概率。

为了解决\beta (z_{n})的迭代初始化,首先对公式33取n=N,并将公式34代入,可得:

                               (公式39)

其中X={X_{1},X_{2},...,X_{N}};而\gamma (z_{N})=p(z_{N}|X),见公式13,省略了\theta ^{old}。此时发现,只要规定:对于任意的z_{N},满足\beta (z_{N})=1,就能让公式39恒成立(根据贝叶斯公式)。

解决完\gamma (z_{nk})的计算问题后,高斯概率分布的M步骤中的\mu _{k}(即公式20)就有了新的形式:

           (公式40)

在EM优化过程中,对似然概率p(X)的监控很有必要,现在让公式33两边对z_{n}求和,那么左边就变为1,即\sum_{k}^{}\gamma (z_{nk})=1,那么调整可得:

                                     (公式41)

当我们取\beta (z_{N})=1,即假设\beta是所有元素为1构成的向量。那么p(X)可简化为:

                                     (公式42)

此时不需要\beta的迭代,只需要\alpha函数。现在重新理解p(X),原先有p(X)=\sum _{Z}p(X,Z)公式42相当于把p(X)计算量从指数级别降低到线性

接下来解决\xi (z_{n-1},z_{n})的计算问题,它的定义来自公式14,即p(z_{n-1},z_{n}|X ),结合贝叶斯定理,可得:

     (公式43)

上式比较简单,其中倒数第2行的第一项和第五项相乘等于\alpha(z_{n-1}),第三项等于\beta (z_{n})。因此我们同样能够利用\alpha\beta的迭代,对\xi (z_{n-1},z_{n})进行计算。

HMM预测下一个数据

HMM一个有趣且重要的应用是预测下一个x数据。比如已知观察值X={X_{1},X_{2},...,X_{N}},要求预测X_{N+1},这个在实时应用比如金融预测中很重要。我们利用公式29公式31条件独立性,结合简单的概率乘法和加法,可得:

HMM算法(Hidden Markov Models)揭秘_第16张图片(公式44)

第1步将x_{N+1}的边际概率扩展为和Z_{N+1}的联合概率,需要对Z_{N+1}求和消去Z_{N+1}

第2步利用贝叶斯公式,将联合概率分解为两项;

第3步将第2步的边际概率p(z_{N+1}|X)扩展为和z_{N}的联合概率;

第4步将第3步的联合概率p(z_{N+1},z_{N}|X)分解为两项;

第5步利用贝叶斯公式,将p(z_{N}|X)改写为\frac{p(z_{N},X)}{p(X)}

第6步将常量\frac{1}{p(X)}提取到求和外面,同时套用公式34p(z_{N},X)替换成\alpha(z_{N})

因此p(x_{N+1}|X)可通过先前向迭代计算\alpha(z_{N}),再分别对z_{N}z_{N+1}求和得到。需要指出,对z_{N}的求和结果可暂时保存,等到处理x_{N+1}时被再次利用。计算x_{N+2}等以此类推。

维特比算法(Viterbi algorithm)

HMM的许多应用中,隐变量具有重要的含义,因此有必要找到已知观测序列对应的最有可能的隐状态序列。例如在语音识别中,需要找到给定声音对应的最有可能的文本序列。由于HMM是一个有向图,该问题可以用最大-求和算法(max-sum algorithm或max-product algorithm)精确处理。(说明:最大-求和算法依赖sum-product algorithm,后者将联合概率表达为因子图(factor graph);最大-求和算法是图模型上的一个DP算法,它用于找到具有最大概率的变量集合。由于篇幅限制,本文不详细介绍这两个算法。)

需要指出,隐变量(或隐状态)的最有可能的序列并不等价于它们单独都是最有可能的。后一个问题可以通过首先运行前向-后向算法来找到每个隐变量的边际概率\gamma (z_{nk}),然后单独最大化它得到。但是这样找到的隐状态通常并不是最有可能的状态序列。甚至最差情况,这样找到的状态序列可能具有零概率,即完全不存在,尽管它们单独都是最有可能的,这是因为在转移矩阵中,连接它们的矩阵元素为0。

最大-求和算法类似,维特比算法也是DP算法,二者时间复杂度接近,都能将指数级别的解码问题转化为线性代价。首先,我们定义\omega(z_{n})函数表示到n时刻所有路径中的概率最大值(取对数)为:

\omega(z_{n})=max_{z_{1},...,z_{n-1}} ln\; p(x_{1},...,x_{n},z_{1},...,z_{n})                              (公式45)

式中把z_{1},...z_{n-1}看成自由变量,对每个z变量(K维向量)的状态进行选择,选择使得X和Z的联合概率的对数最大化的(即最有可能的序列),直到到达z_{n}。注意:为了简化公式,省略了模型参数\theta;事实上,在寻找最有可能序列过程中,参数\theta是固定的。

根据HMM的定义(公式6),结合公式45,不难发现\omega(z_{n})的迭代形式:

\omega(z_{n+1})=ln\; p(x_{n+1}|z_{n+1})+max_{z_{n}} \left \{ ln\; p(z_{n+1}|z_{n}) +\omega(z_{n})\right \}   (公式46)

其中初始值\omega(z_{1})由公式45可得:\omega(z_{1})=ln\; p(z_{1})+ln\; p(x_{1}|z_{1})      (公式47)

一旦完成直到z_{N}的最大化,我们将得到最优路径对应的联合概率p(X,Z)的ln值。为了找到隐状态的最优序列,我们可以使用一种回溯法(也叫倒推法,back-tracking)。我们把从z_{n}z_{n+1}的K个可能状态的概率最大的状态序号保存到\psi (k_{n})函数中,其中k \in \left \{ 1,...,K \right \}。一旦消息传递到HMM的末端,并且找到了概率最大的z_{N}状态,就可以利用该函数进行迭代回溯:

k_{n}^{max}=\psi (k_{n+1}^{max})                              (公式48)

直到推出n=1时刻的最大概率状态序号k_{1}^{max},我们就得到了最优路径:

k^{max}=(k_{1}^{max},k_{2}^{max},...,k_{N}^{max})     

参考资料 

 维特比算法,维基百科。

 Baum-Welch 算法,维基百科。

《模式识别与机器学习》,2006 年。

《统计学习方法》,2012年。

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