前缀和+差分+离散化+区间合并
题目清单
- 前缀和
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- 一维前缀
- 二维前缀
- 差分
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- 一维差分
- 二维差分
- 离散化
- 区间合并
- 菜就菜呗，菜就学呗，谁开始还不是一只小白菜。 up up up!!!
前缀和
前缀和的作用是降低时间复杂度来计算一个区间的数值总和，比如计算S[l]到S[r]区间所有数值的总和，一般的方法就是一个个遍历相加，从l加到r
对于单次求和不影响，但是如果多次求和时间复杂度就会差别很大
遍历的时间复杂度是O（n);
前缀和时间复杂度是O(1);
一维前缀
说前缀和是一种算法不如说是一种公式:
S[i]=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[i]
区间l到r的和就是a[l]+a[l+1]+…+a[r]=S[r]-S[l-1]
为了方便不用进行下标的判断，默认前缀和数据存储从下标1开始,S[0]=0;
这样a[1]+a[2]+…+a[r]=S[r]-S[0]
上代码 (代码简短又易懂）
#include二维前缀
类似一维，主要推导两个式子，
- 一个是用来初始化S[i][j]：
S[i][j]=S[i-1][j]+S[i][j-1]-S[i-1][j-1]+a[i][j]; - 一个是用来计算区域和的：
S=S[x2][y2]-S[x2][y1-1]-S[x1-1][y2]+S[x1-1][y1-1]表示左上角为（x1,y1)，右下角为(x2,y2)的一片区域的和，(x1,y1)包含在区域内
画个图就看出来了
#include差分
什么是差分？
两个数组，b[],a[],a[]是b[]的前缀和数组，b[]是a[]的差分数组
差分就是将数列中的每一项分别与前一项数做差。
首先一个数组 ：1 2 5 4 7 3
那么差分之后 ：1 1 3 -1 3 -4 -3
其实就是 b [ i ] = a [ i ] - a [ i − 1 ]
a[i]=b[1]+b[2]+b[3]+…+b[i]
注意得到的差分序列第一个数和原来的第一个数一样（相当于第一个数减0）
差分序列最后比原序列多一个数（相当于0减最后一个数）
（截取自：https://blog.csdn.net/weixin_44668898/article/details/104281102）
差分一般使用场景：
给出 n 个数，再给出 m 个询问，每个询问给出 l，r，c，要求你在 l 到 r 上每一个值都加上 c，而只给你 O(n) 的时间范围，怎么办？
如果暴力，时间复杂度就是 O(n*m)
如果线段树或者树状数组，时间复杂度就是 O(mlogn)
所以这里用差分，时间复杂度就是 O(n)
一维差分
题目链接-差分
题目链接-差分矩阵
记两个关键的公式：
- b[i]=a[i]-a[i-1];
- a[i]=b[1]+b[2]+b[3]+…+b[i]
#include二维差分
给个链接，感觉讲的挺清楚的了：
差分矩阵
主要记住四个点加一个公式：
四点：
- b[x1][y1]+=c; 这一步使得从（1，1）延展开的矩阵凡是经过（x1，y1）的都+=c。
- b[x1][y2+1]-=c; 因为子矩阵边界{x1<=x<=x2,y1<=y<=y2} 所以一旦y>y2,就不许要+=c，所以b[x1][y2+1]-=c,抵消。
- b[x2+1][y1]-=c; 同理上一步。
- b[x2+1][y2+1]+=c; 因为在（x2+1，y2+1）这里建了两次，+=c达到平衡
公式： - a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]+b[i][j]; 这一步用在b 差分数组的构建
->b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]
这里可以总结成子矩阵内部有多少b[i][j]加上或减上c，对应的前缀和就加上其总和。
#include
cout << endl;
}
}
void Insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
b[x1][y1] += c, b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c; b[x1][y2 + 1] -= c;
}
离散化
离散化通过映射将稀疏区间变得密集，再通过前缀和求区间和
例题来源
（注意一下二分查找的写法，果然太久没用二分查找有的点竟然忘了）
关于pair的用法参考STL
重点在于离散化的处理
#include,first表示原数组下标，second表示添加的c,
//离散化结束后缩短了范围，始数据变得密集，接着通过前缀和求区间和，这是一道前缀和+离散化的题目
ll n, m, x, c, l, r;
cin >> n >> m;
for (ll i = 0; i < n; i++)
{
cin >> x >> c;
pos.push_back(x);
P1.push_back({ x,c });
}
//为了方便找到区间边界，所以再把区间边界映射存入P2
for (ll i = 0; i < m; i++)
{
cin >> l >> r;
pos.push_back(l);
pos.push_back(r);
P2.push_back({ l,r });//留着后面要用来查询
}
sort(pos.begin(),pos.end());
pos.erase(unique(pos.begin(), pos.end()), pos.end());
//unique函数去重，然后返回最后一个元素,这时候的就可以通过在pos确定x小标的元素在300000大小的数组里面的下标了
for (auto x : P1)
{
int p = find(x.first);
if (p != -1) a[p] += x.second;
}
for (int i = 1; i <= pos.size(); i++)
{
S[i] = S[i - 1] + a[i];
}
//查询
for (auto x : P2)
{
l = find(x.first); r = find(x.second);
cout << S[r] - S[l - 1] << endl;
}
return 0;
}
区间合并
说一下思路：先将每个区间的左右端点打包成pair类型存入vector，根据区间的左端点排序，接着进行合并，在上一个区间的beg和end不变的情况下比较上一个区间与当前区间的位置关系，一共有三种情况，新的子区间在上一个区间的内部，在上一个区间的外部，与上一个区间有交集（不可能在上一个区间的前面，因为先对所有区间的左端点进行排序过了)。当新区间的first大于未更新的end，说明两个区间没用交际，更新beg和end，将上一个区间存入re（新的pair类型的vector），如果end>=first,有两种情况，一种是有交集，一种是包含，所以只要对end进行更新，end=max（end，seg.end),前一中是包含，后一种是交集。
对于segs中所有pair处理结束后，最后一个区间还没入re数组，因为入数组的操作是当判断出现新的区间时才进行的。
所以当所有pair处理完，在对beg和end进行一次判断，如果end！=-2e9,就入数组，如果是-2e9肯一开始就是空vector。
例题链接–区间合并
#include关键代码：
void Merge(vector<PII>&segs)
{
sort(segs.begin(),segs.end());//pair的排序是先比较first，后比较second
vector<PII>re;
int beg = -2e9, end = -2e9;
for (auto seg : segs)
{
if (seg.first > end)//不包含，不想接
{
if (end != -2e9) re.push_back({ beg,end });
beg = seg.first;
end = seg.second;
}
else end = max(end, seg.second);
}
if (end != -2e9) re.push_back({ beg,end });
segs = re;