DP-线性DP的一些题目

1.最长上升子序列

活动 - AcWing

给定一个长度为n的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

解题

我们将上升子序列的倒数第二个数作为状态划分的依据，当其小于当前数时，长度可以+1，否则不行。

#include
using namespace std;
const int N=1010;
int n,a[N],f[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            if(a[j]

有一个O(nlogn)的做法，使用二分来优化。

在此前，每次进行状态转移时，我们需要遍历一遍所有可能的倒数第二个数，才能找出方案，但是其实，我们可以用一个数组存储每个长度的上升子序列末尾最小的值。我们可以很容易地知道，这个数组一定是单调递增的，因为当上升子序列的长度相同时，末尾最小的上升子序列，一定是我们最优的选择，如果当前上升子序列的长能够+1，则说明当前长度n+1的上升子序列末尾元素一定比上一个长度n的末尾元素大。

有了这个单调递增的性质，我们进行状态转移的时候，可以通过二分在数组中找出比当前值小的最大元素，把它作为上一个状态，从而进行状态转移。

#include
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N],q[N],n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    int len=0;
    q[0]=-2e9;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int l=0,r=len;
        while(l>1;
            if(q[mid]